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[Python/Fin]打造股票質押計算器(3)：歷史數據滾動回測模擬

阿恩 Arne｜ Environmental Enginee — Sun, 15 Mar 2026 06:50:31 +0000

引言

前一篇Dev.to連結用數學公式驗證了「槓桿質押借新還舊」策略的計算邏輯，但數學公式假設固定的市場報酬率。這篇改用 0050 的真實歷史數據來跑回測，看看遇到極端市場時，不同維持率設定的實際生存狀況。

條件說明

項目	設定
實驗組 A	維持率 500%，借款利率 3%
實驗組 B	維持率 300%，借款利率 3%
對照組	單純買進持有，無槓桿
斷頭線	維持率 < 130% 強制出場
借款上限	單筆 60%（台灣券商限制）

操作邏輯

多頭時（維持率 > 目標值）：借入資金再投入，維持目標槓桿
空頭時（維持率 < 目標值）：停止借入，讓緩衝空間保護資產，不賣出
觸及 130%：強制斷頭出場

回測結果

各年度淨資產（萬元，初始 100 萬）

年份	年報酬率	無槓桿	維持率 500%	維持率 300%
2005	—	100.00	100.00	100.00
2006	+23.7%	123.70	128.88	134.05
2007	+11.8%	138.30	146.92	155.77
2008	-43.5%	78.14	65.93	51.79
2009	+73.9%	135.88	141.47	146.94
2010	+11.9%	152.05	161.78	171.78
2011	-18.8%	123.47	122.55	120.76
2012	+11.1%	137.17	139.52	141.33
2013	+11.7%	153.22	159.58	165.80
2014	+17.0%	179.27	192.90	207.12
2015	-6.2%	168.15	176.50	184.75
2016	+18.8%	199.76	217.53	236.34
2017	+18.1%	235.92	265.11	296.96
2018	-4.9%	224.36	246.89	270.68
2019	+33.5%	299.52	350.42	408.00
2020	+31.1%	392.67	484.01	592.22
2021	+21.9%	478.67	612.88	777.88
2022	-20.8%	379.11	448.93	523.51
2023	+27.0%	481.47	608.02	761.01
2024	+48.6%	715.46	977.64	1319.01

結論

從結果看到2008年 0050 下跌 43.5%，維持率 500% 組的維持率跌到 274%，維持率 300% 組只剩 165%。相較之下，維持率 300% 雖可行但較為驚險、激進；維持率 500% 則安全度過極端風險。歷史回測給了一個比較具體的答案：在 0050 這段歷史區間，維持率 500% 的設定確實能安全度過 2008 級別的系統性崩跌，維持率 300% 只能說是倖存。

在2009年到2018年這段期間，三者的淨資產差距並不大。分歧點從2019年開始台股展現出更高的正報酬(>20%)，2024年甚至來到48.6%，所以最終可以看到在2024年度，三組的淨資產值顯著拉開：

無槓桿：715 萬
維持率 500%：978 萬（+37%）
維持率 300%：1319 萬（+84%）

⚠️ 本文為程式邏輯與數據模擬的紀錄，非投資建議。

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[Python/Fin]打造股票質押計算器(2)：利用數學公式驗證槓桿策略

阿恩 Arne｜ Environmental Enginee — Sun, 08 Mar 2026 07:53:10 +0000

引言

在上一篇Dev.to 連結我有介紹股票質押策略與計算器使用，並利用 Python 打造了計算器來模擬資產變化。

根據 Python 的模擬數據，我們得出了幾個核心觀察：

維持率的雙面刃：維持率降至 200%~300% 時，資產增幅顯著，但可承受跌幅僅剩 35%~56.7%，極易觸發斷頭。
槓桿的 Alpha：在維持率 500% 的溫和槓桿下，淨資產報酬仍可超越「單純買進持有」策略約 17%。
提領率的敏感度：壓低「絕對提領率」比尋找極低借款利率更重要。

這次我想單純利用數學公式來推導這套策略，驗證上述模擬結果在理論上是否絕對成立。

基本定義與變數假設

為進行推導，首先定義公式中的各項變數與核心關係式

變數	定義	變數	定義
A	總資產	L	總借款
N	淨資產 (A - L)	m	維持率 (A / L)
r	預期年化報酬率	i	借款年利率
T	經過年數	$λ\lambda$	槓桿倍數 ( A / N)
W	每年固定提領金額	w	提領率

基礎核心關係式：

根據台灣券商的維持率定義 $\frac{A}{L} = \frac{N+L}{L}$ ，我們可以推導出負債與淨值的關係：

\frac{N}{m-1}

而槓桿倍數 $λ\lambda$ 定義為總資產與淨資產的比值 $λ=AN=N+LN\lambda = \frac{A}{N} = \frac{N+L}{N}$ ，由此可知：

$N(\lambda-1)$

$\cdot \lambda$

累積模式：恆定槓桿的數學驗證

在資產累積期，策略核心是保持槓桿倍數 $λ\lambda$ 恆定。

單一年度的資產變化：

期末總資產： $A_{t_1}=A_{t_0}(1+r)$
期末總負債： $L_{t_1}=L_{t_0}(1+i)$
期末淨值： $N_{t_1}=A_{t_1}-L_{t_1}$

將前述的基礎關係式代入展開：

$N_{t_1}=A_{t_0}(1+r)-L_{t_0}(1+i)$

$Nt1=Nt0⋅λ(1+r)−Nt0(λ−1)(1+i)N_{t_1}=N_{t_0}\cdot\lambda(1+r)-N_{t_0}(\lambda-1)(1+i)$

得到恆定槓桿的單年成長公式：

Nt1=Nt0⋅[λ(r−i)+(1+i)]N_{t_1}=N_{t_0}\cdot[\lambda(r-i)+(1+i)]

令槓桿成長因子 $\lambda(r-i) + (1+i)$ ，則經過T年後的淨資產為：

NT=N0⋅GTN_T =N_0\cdot G^T

💡 槓桿 vs 非槓桿的絕對勝負條件：

非槓桿策略 (單純持有)： $N_{T(n)} = N_0(1+r)^T$
槓桿恆定策略： $NT(l)=N0⋅[λ(r−i)+(1+i)]TN_{T(l)} = N_0 \cdot [\lambda(r-i) + (1+i)]^T$

假設 $mm−1(r−i)+(1+i)>(1+r)⇒mm−1(r−i)>r−i\frac{m}{m-1}(r-i)+(1+i)>(1+r)\Rightarrow\frac{m}{m-1}(r-i)>r-i$

只要 $r > i$ 槓桿 $G$ 必大於 $(1 + r)$

提領模式：借貸提領 vs 傳統賣股提領

進入退休提領期，我們不再執行再投資，而是每年固定取出金額 $N_0 \cdot w$ 作為生活費。我們比較兩種常見做法：

傳統 4% 法則 (對照組)：賣出資產以獲取現金 W。

每年賣出 W，這筆錢將無法享受後續的複利成長（即機會成本）。其實質淨資產為初始資產的複利，扣除每年提領金所構成的等比級數總和：

$A_{T(n)}=A_0(1+r)^T - [W(1+r)^T +W(1+r)^{T-1} +…+W(1+r) ]$

$NT(n)=A0(1+r)T−W⋅(1+r)[(1+r)T−1]rN_{T(n)}= A_0(1+r)^T - W\cdot\frac{(1+r)[(1+r)^T-1]}{r}$

質押借貸策略 (實驗組)：不賣資產，每年初向券商借入現金 W。

總資產完整保留享受複利 r，但債務 L 每年增加 W，並以利率 i 產生利息，形成另一個等比級數：

$Lt=W(1+i)t+W(1+i)t−1+...+W(1+i)=W⋅(1+i)[(1+i)t−1]iL_t =W(1+i)^t+W(1+i)^{t-1}+...+W(1+i)=W\cdot\frac{(1+i)[(1+i)^t-1]}{i}$

$NT(l)=At0(1+r)T−W⋅(1+i)[(1+i)T−1]iN_{T(l)} = A_{t_0}(1+r)^T - W \cdot \frac{(1+i)[(1+i)^T-1]}{i}$

註：此公式假設進入提領期時無既有債務。若累積期有遺留債務 $L_0$ ，只需扣除 $L0(1+i)T\small L_0(1+i)^T$ 即可

💡 兩者差異比較 ( $ΔNT\Delta N_T$ )：

我們假設起始狀態相同 ( $A_{t_0} = A_0$ )，將兩者相減：

$ΔNT=NT(l)−NT(n)\Delta N_T = N_{T(l)} - N_{T(n)}$

$ΔNT=W⋅[(1+r)[(1+r)T−1]r−(1+i)[(1+i)T−1]i]\Delta N_T = W \cdot \left[ \frac{(1+r)[(1+r)^T-1]}{r} - \frac{(1+i)[(1+i)^T-1]}{i} \right]$

中括號內的結構完全相同，唯一的變數是 $r$ 與 $i$ 。
在數學上，函數 $\frac{(1+x)[(1+x)^T-1]}{x}$ 在 $x > 0$ 時為嚴格遞增函數 (Monotonically Increasing Function)。

因此得證：只要市場報酬率 $r >$ 借款利率 $i$ ，則 $f (r) > f (i)$ ， $ΔNT\Delta N_T$ 必定大於 0。
這證明了在不考慮崩盤斷頭的前提下，「借錢生活」在數學上絕對比「賣股生活」留下更多淨資產。

結論：純數學的盲點與 Python 模擬的價值

透過公式推導，我們在數學上確認了「借新還舊」策略的絕對可行性（條件： $r > i$ ）。但數學公式存在一個致命盲點：它假設 $r$ 與 $i$ 每年都是固定的常數。

在現實金融市場中，報酬率 $r$ 是呈現常態分佈波動的，這會帶來報酬順序風險 (Sequence of Returns Risk, SORR)。如果提領期的前三年遇到連續大跌（ $r$ 為負數），即使長期平均 $r$ 依然大於 $i$ ，公式無法告訴你：你的資產會不會在第三年就因為跌破「維持率下限」而被強制斷頭清算。

數學給了我們策略的「理論上限」，而透過 Python 建構的程式模擬，能幫助我們劃定現實中的「生存下限」。兩者結合，才是資料分析完整的樣貌。

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[Python/Fin] 打造股票質押計算器(1)：模擬「借新還舊」與「恆定槓桿」策略的數據實驗

阿恩 Arne｜ Environmental Enginee — Sun, 01 Mar 2026 13:44:31 +0000

引言

近期很常聽到「股票質押借新還舊(Buy, Borrow, Die)」相關的投資策略，其核心是在不賣出股票的前提下，透過質押借款來支應現金需求。這是一個對報酬率、借款利率、提領率與維持率等參數高度敏感的策略，但網路上的討論大部分為概念描述，單看策略原理與操作方式還是很難直觀感受到長期風險與各參數的影響程度。因此，我嘗試用 Python 將這套邏輯具象化，並透過參數模擬來觀察不同假設下的結果差異。

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策略拆解

為了簡化變因，我將策略拆成兩個階段(模式)：「累積」與「提領」。
共同概念：利用股票質押借出的資金支應需求(再投入或生活開支)，每年都要借入新的資金償還舊的借款(含利息)，不賣出股票。

累積模式：槓桿擴張期

核心邏輯：恆定槓桿與再投入機制
設定目標維持率(例:500%)
- 若當前維持率>目標維持率：執行再投入，借出更多的資金再投資，提升資金效率。
- 若當前維持率<目標維持率：不借入，讓目標維持率與下限的空間保護資產，或是利用自己的資金低檔買入(補錢)。

提領模式：退休現金流

核心邏輯：投資報酬率>借款利息+提領率
- 固定提領：每年提領固定金額 = 第一年淨資產 $×\times$ 提領率
- 浮動提領：每年提領金額 = 每年年初淨資產 $×\times$ 提領率

數據實驗與參數觀察

建立此計算器的核心價值在於分析參數敏感度與假設驗證。以下圖表皆為提取模擬器數據後重新繪製。

實驗一：維持率的代價：獲利能力 vs 抗跌能力

固定條件：初始資金為100萬；借款利率3%；報酬率10%；持有10年。
變動條件：維持率600、500、400、300、200% (維持率下限設定130%)

當維持率降低到200% ~ 300%時，資產增加幅度顯著提升，但可承受的跌幅僅剩35% ~ 56.7%。面對歷史級別的系統性股災，極易觸發斷頭導致提前出局。
註：在計算邏輯中，若要將目標維持率壓低至 200%，意味著借款金額須等同於初始自有資產。這在實務上已觸及台灣券商單筆借款上限（六成），必須透過「迴圈質押」才能達成，屬於策略的極限邊界。

實驗二：累積計算機策略比較：槓桿 vs 非槓桿

固定條件：初始資金為100萬；報酬率10%；持有10年。
槓桿組：借款利率3%；維持率500%
非槓桿組：單純買進持有

依據上述條件模擬結果，槓桿組最終淨資產約為非槓桿組多 17%，而這 17% 就是利用承擔維持率500%的溫和槓桿波動風險所換來的溢價。

實驗三：提領計算機參數比較：提領率 vs 借款利率

固定條件：初始資金為1000萬；報酬率10%；提領10年。
變動條件1：借款利率2.0、3.0、4.0、5.0、6.0%
變動條件2：提領率2.0、3.0、4.0、5.0、6.0%

數據顯示，比起耗費心力去尋找更低的借款利率，盡可能放大初始資本以壓低「絕對提領率」，更能有效確保資產在長期提領下不斷頭且持續增長。

以上模擬實驗及計算器具有侷限性，對於市場報酬的假設是線性的，後續我會利用其他方式模擬具有波動性的市場報酬對策略及參數的影響！

重要聲明：本文僅為程式邏輯與數學模型的探討，非投資建議。