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Rdv manqué entre Koh Lanta et les maths

Evan Liomain — Mon, 02 May 2022 07:10:21 +0000

Le Mardi 26 avril 2022, TF1 diffusait la seconde partie de son épisode des ambassadeurs de Koh Lanta. Cette saison est marquée par l'empreinte du totem maudit. À chaque épreuve de confort, l'équipe perdante se voit attribuer un gage. À l'occasion de la réunification, les règles du tirage au sort entre les ambassadeur.rice.s s'ils ne se mettaient pas d'accord sur un.e aventurier.e à éliminer, ont changé.

Rappel du contexte

Koh Lanta est une émission de téléréalité diffusée par TF1 depuis 20 ans. Une vingtaine de participant.e.s doivent survivre sur une île déserte, tout en éliminant un aventurier.e régulièrement. Le gagnant est alors élu par les derniers aventurier.e.s.
Au départ iels sont répartis dans 2 équipes (parfois 3 au début, mais on revient à 2 à un moment du jeu). Puis vient le moment de la réunification où les 2 équipes n'en forme plus qu'une. Mais... Un.e aventurier.e doit être désigné éliminé (et non pas élu). Pour se faire, un.e aventurier.e de chaque équipe, appelé ambassadeur.rice.s, se réunissent pour discuter et choisir la personne à faire sortir.
Chaque équipe doit défendre son bout de gras, car arriver en minorité à la réunification signifie moins de chances pour les membres de son équipe de rester dans la partie.
Aussi, si les ambassadeur.e.s ne peuvent se mettre d'accord, un tirage au sort est lancé entre eux deux.
Une boule blanche et une noire, celui qui tir la noire, chao.

La malédiction du totem

Cette année, les aventurier.ère.s désignés ont été : Louana pour les rouges, et Colin pour les jaunes.
Le totem maudit est venu altérer le tirage au sort pour handicaper l'équipe jaune, ayant perdu l'épreuve de confort d'avant.

2 sachets, un rouge et un jaune, sont présents. Dans le rouge, une boule blanche et une boule noire. Dans le jaune, maudit, une boule blanche et deux boules noires.
Le tirage au sort se déroule ainsi :
À l'aveugle, Louana tire une boule dans le sachet rouge et Colin tire une boule dans le sachet jaune.
Si les boules sont de la même couleur, alors on replace les boules dans leur sachet respectif, et on recommence le tirage.
Si les boules sont de couleur différente, alors celui ou celle qui tire la noire est éliminé.

Question : quel est le risque pour chacun.e des ambassadeur.rice.s d'être éliminé lors du tirage au sort ?

Lors de l'émission, Denis, le présentateur, affirme que Louana à 50% de risque d'être éliminée, contre 66% pour Colin.
Problème, la somme ne fait pas 100%, mais 116%.
Selon vous, s'est-il trompé ? Et si oui, quels sont les vrais risques ?

En vrai, la formulation de Denis est trompeuse, car il n'annonce pas le risque d'être éliminé, mais la probabilité de tirer une boule noire. Ce qui, nous allons le voir, est légèrement différent, et pas aussi simple qu'il n'y paraît.

Formalisation du problème

Pour la suite, nous noterons :

L : l'évènement Louana est éliminée
C : l'évènement Colin est éliminé
R : l'évènement on Recommence le tirage
$P (L)$ : la probabilité que Louana soit éliminée,
$P (C)$ : la probabilité que Colin soit éliminé,
$P(L_n)$ : la probabilité que Louana soit éliminée au bout de n tirages,
$P(C_n)$ : la probabilité que Colin soit éliminé au bout de n tirages,
$P(R_n L)$ : la probabilité que Louana soit éliminée sachant qu'on a recommencé le tirage n fois,
$P(R_n C)$ : la probabilité que Colin soit éliminé sachant qu'on a recommencé le tirage n fois,
$P(R_n R)$ : la probabilité que l'on recommence le tirage sachant qu'on a recommencé le tirage n fois.

Dénombrement du $1^{er}$ tirage

L'ensemble des évènements possibles lors du premier tirage peut être résumé par ce tableau :

	o	•	•
o	R	C	C
•	L	R	R

o boule blanche tirée
• boule noire tirée

Sachant qu'on n'a pas encore recommencé de tirage, on a alors :

$P(R_0L) = {^1/_6}$
$P(R_0C) = {^1/_3}$
$P(R_0R) = {^1/_2}$

On peut donc commencer à estimer les risques d'élimination de Louana et Colin :

$P(L_0) = P(R_0L) = {^1/_6}$
$P(C_0) = P(R_0C) = {^1/_3}$

Premier constat : au premier tirage, Colin a moins de risques d'être éliminé qu'avec un tirage classique.
Oui mais voilà, lorsque l'événement R se produit, on refait le tirage, dans les mêmes conditions. Et ce que nous dis la théorie des probabilités, c'est que les probabilités restent les mêmes pour ce second tirage.

Dénombrement du $2eˋme2^{ème}$ tirage

Après le second tirage, on obtient les probabilités de ces évènements :

$P(R0L)=16P(R_0L) = {\frac{1}{6}}$
$P(R0C)=13P(R_0C) = {\frac{1}{3}}$
$P(R1L)=12×16=1/12P(R_1L) = {\frac{1}{2}} \times {\frac{1}{6}} = {^1/_{12}}$
$P(R1C)=12×13=1/6P(R_1C) = {\frac{1}{2}} \times {\frac{1}{3}} = {^1/_6}$
$P(R1R)=12×12=1/4P(R_1R) = {\frac{1}{2}} \times {\frac{1}{2}} = {^1/_4}$

On peut donc ré-estimer les risques d'élimination de Louana et Colin après avoir recommencé 1 tirage :

$P(L_1)=P(R_0L) + P(R_1L) = {^1/_4}$
$P(C_1)=P(R_0C) + P(R_1C) = {^1/_2}$

Dénombrement du $neˋmen^{ème}$ tirage

On peut généraliser ces formules sur n tirage pour être encore plus précis :

$P(Ln)=P(R0L)+P(R1L)+...+P(RnL)=16×(1+12+14+...+(12)n)P(L_n)=P(R_0L)+P(R_1L)+...+P(R_nL)=\frac{1}{6} \times (1+{\frac{1}{2}}+{\frac{1}{4}}+...+({\frac{1}{2}})^n)$
$P(Cn)=P(R0C)+P(R1C)+...+P(RnC)=13×(1+12+14+...+(12)n)P(C_n)=P(R_0C)+P(R_1C)+...+P(R_nC)=\frac{1}{3} \times (1+{\frac{1}{2}}+{\frac{1}{4}}+...+({\frac{1}{2}})^n)$

ou écrit plus formellement :

$P(Ln)=∑i=0nP(R∗iL)=16×∑i=0n(12)iP(L_n)=\sum_{i=0}^{n} P(R*iL)={\frac{1}{6}} \times \sum_{i=0}^{n} ({\frac{1}{2}})^i$
$P(Cn)=∑i=0nP(R∗iC)=13×∑i=0n(12)iP(C_n)=\sum_{i=0}^{n} P(R*iC)={\frac{1}{3}} \times \sum_{i=0}^{n} ({\frac{1}{2}})^i$

Simplification des formules

On peut simplifier cette somme de puissance de $12\frac{1}{2}$ en utilisant la somme des termes d'une suite géométrique de raison 1/2, et de premier terme 1 :

$∑i=0n(12)i=1−(12)n+11−12\sum_{i=0}^{n} ({\frac{1}{2}})^i = \frac{1-({\frac{1}{2}})^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}$

D'où :

$P(Ln)=13×(1−(12)n+1)P(L_n)=\frac{1}{3} \times (1-(\frac{1}{2})^{n+1})$
$P(Cn)=23×(1−(12)n+1)P(C_n)=\frac{2}{3} \times (1-(\frac{1}{2})^{n+1})$

Analyse des résultats

Si on trace les valeurs successives de ces probabilités, on obtient :

On constate que ces probabilités convergent, c'est-à-dire que plus n est grand, plus leur valeur se rapproche d'un nombre.

L'idéal serait alors de calculer ces probabilités pour un nombre infini de tirage. Ça tombe bien, il y a un concept pour ça en maths, c'est la limite.

Vers l'infini et au-delà

$P(L)=lim⁡n→+∞P(Ln)=lim⁡n→+∞13×(1−(12)n+1)P(L)=\lim_{n\to + \infty} P(L_n)= \lim_{n\to + \infty} \frac{1}{3}\times (1-(\frac{1}{2})^{n+1})$
$P(C)=lim⁡n→+∞P(Cn)=lim⁡n→+∞23×(1−(12)n+1)P(C)=\lim_{n\to + \infty} P(C_n)= \lim_{n\to + \infty} \frac{2}{3}\times (1-(\frac{1}{2})^{n+1})$

Or $lim⁡n→+∞(12)n+1=0\lim_{n\to + \infty} (\frac{1}{2})^{n+1} =0$

Donc

$P(L)={^1/_3}$
$P(C)={^2/_3}$

Conclusion

Au final, Louana avait 1 risque sur 3 d'être éliminée (ou ~33%), contre 2 sur 3 pour Colin (ou ~66%).

Dit autrement, Colin avait 2 fois plus de risque d'être éliminé que Louana dans ce tirage au sort.

D'un simple problème de tirage au sort, nous avons utilisé la somme des termes d'une suite géométrique et un calcul de limite.

Qui a dit que les maths ne servait à rien ? Même en regardant TF1 on peut en avoir besoin 😉.

Est-ce vraiment une mauvaise idée d'utiliser des accents dans du code JavaScript ?

Evan Liomain — Wed, 16 Mar 2022 08:41:03 +0000

En JavaScript, il est possible d'ajouter des variables avec des accents ou des caractères non ASCII dans leur nom. Pour les entreprises françaises qui ont choisi d'écrire le code en français, cela permettrait de supprimer toute ambiguïté pour certains noms de variable.

Mais est-ce vraiment une bonne idée ?

Un petit tour de magie

Pour commencer, voici 2 lignes de code valide en JavaScript :

const café = 2;
console.log(café);
// Uncaught ReferenceError: café is not defined

Mais que s'est-il passé ? 😱 Pourquoi la valeur de la variable "café" n'est pas égale à 2 ?

C'est un peu comme un tour de magie. On n'y comprend rien, mais on sait qu'il y a un "truc" qui l'explique.

Voyons voir les principes qui se cachent derrière ce tour de passe passe.

L'art d'encoder en Unicode

Pour afficher un caractère unicode via son code, JavaScript a défini une manière de les écrire avec des caractères ASCII. Cela commence par le caractère d'échappement \u suivi de :

soit, exactement 4 chiffres hexadécimal en majuscule ou minuscule pour les lettres de A à F : \uXXXX (ex: \u039B ou \u039b pour Λ)
soit, par 1 à 6 chiffres hexadécimal entourés d'accolade : \u{X}

Exemple:

\u{39b} pour Λ
\u{10154} pour le caractère "Mille statères acrophonique grec attique"

Ces caractères échappés peuvent être utilisés dans :

les chaînes de caractères
les commentaires
les expressions régulières
les identifiants de variable

const \u{39b} = "LAMBDA letter, Λ, \u039b, \u{39b}";
console.log(\u{39b}); // LAMBDA letter, Λ, Λ, Λ
console.log(Λ); // LAMBDA letter, Λ, Λ, Λ
console.log(/\u{39b}/u.test(\u{39b})); // true

Des caractères combinés

Certains caractères Unicode sont restitués en se combinant au caractère précédent.
Ainsi, u\u{310} représentera u̐.

Il est donc possible de représenter visuellement le même caractère, mais sous 2 représentations différentes.

Par exemple : é peut être vu comme le caractère \u{e9}, ou comme la combinaison e\u{301}.

Comment peut-on nommer une variable JavaScript ?

Je ne parlerais pas ici de comment on DOIT nommer une variable JavaScript dans son code. Ceci est l'objet de convention de code propre à chaque projet. Mais plutôt, comment PEUT-on les nommer ?

C'est-à-dire, quel est l'ensemble des possibilités que nous offre le langage pour nommer nos variables.

Une variable ne peut prendre le nom d'un mot clé réservé par le langage. Vous pouvez retrouver cette liste sur le site ecma-international.

En ES2015, le nom d'une variable se décompose en 2 parties :

le premier caractère la constituant,
le reste de ses caractères, qui peut être vide.

Ce premier caractère peut être $, _ ou n'importe quel caractère Unicode avec la propriété "ID_Start". L'ensemble de ces caractères est disponible ici.

Le reste des caractères peut être $, _, \u{200c}, \u{200d} ou n'importe quel caractère Unicode avec la propriété "ID_Continue". L'ensemble de ces caractères est disponible ici.

Si vous voulez vérifier si une chaîne de caractères est un nom de variable valide, vous pouvez l'essayer sur ce validateur en ligne.

Quelques exemples de nom de variable valide :

const π = 3.14;
const café = 2;

Par contre, le code suivant lèvera une erreur :

const 😀 = "be happy";
// Uncaught SyntaxError: Invalid or unexpected token

Le tour de magie dévoilé

A ce stade, peut-être avez-vous compris le mystère autour du tour de magie exposé au début :

const café = 2;
console.log(café); // Uncaught ReferenceError: café is not defined

Si l'on réécrit ce code en utilisant les notations avec échappement, cela nous donne :

const caf\u{e9} = 2;
console.log(cafe\u{301}); // Uncaught ReferenceError: café is not defined

On s'aperçoit alors que ce que l'on croyait être la même variable café, était en faite 2 variables différentes :

une que l'on déclare et dont on affecte la valeur 2 (caf\u{e9}, ou café),
une non déclarée dont on essaye de lire la valeur (cafe\u{301}, ou café).

Comme un bon illusionniste, notre éditeur nous a fait voir 2 choses différentes de la même manière.

Dans un autre genre, on peut également trouver des caractères qui ressemblent fortement à des caractères de ponctuation, comme :

\u{241}\u{321} ou \u{294}\u{321} pour ?
et \u{1c3} pour !.

Ce qui permettrait d'écrire ce genre de chose :

const ǃ = 1;
const ʔ̣ = ʔ̣ => ʔ̣??!ǃ;
console.log(ʔ̣()); // false

Conclusion

Nous avons vu comment écrire des caractères Unicode en JavaScript, et comment les utiliser dans des noms de variable.

Bien que l'idée d'exprimer des formules mathématiques avec des caractères grecs puisse être séduisante, et augmenter localement la lisibilité de votre code, cette pratique peut entraîner des dérives importantes sur la lisibilité, voire des bugs quasi indétectables.

Sans oublier le fait que votre serveur pourrait envoyer vos fichiers .js sous un mauvais encodage, ce qui casserait l'exécution de votre programme.

C'est pourquoi je déconseille vivement de nommer ses variables avec des accents, ou autres caractères non ASCII.

Annexe

Pour aller plus loin :

Cet article m'a été inspiré par la lecture du chapitre §2.5 de :

Vous pourrez retrouver tous les caractères définis par Unicode sur : https://javascript.info/regexp-unicode

L'article utilisé pour comprendre ce qui est un identifiant de variable syntaxiquement valide : https://mathiasbynens.be/notes/javascript-identifiers-es6

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Rdv manqué entre Koh Lanta et les maths

Rappel du contexte

La malédiction du totem

Formalisation du problème

Dénombrement du 1er1^{er}1er tirage

Dénombrement du 2eˋme2^{ème}2eˋme tirage

Dénombrement du neˋmen^{ème}neˋme tirage

Simplification des formules

Analyse des résultats

Vers l'infini et au-delà

Conclusion

Est-ce vraiment une mauvaise idée d'utiliser des accents dans du code JavaScript ?

Un petit tour de magie

L'art d'encoder en Unicode

Des caractères combinés

Comment peut-on nommer une variable JavaScript ?

Le tour de magie dévoilé

Conclusion

Annexe

Dénombrement du $1^{er}$ tirage

Dénombrement du $2eˋme2^{ème}$ tirage

Dénombrement du $neˋmen^{ème}$ tirage