The latest articles on DEV Community by hiropon (@hiropon21). https://dev.to/hiropon21 https://media2.dev.to/dynamic/image/width=90,height=90,fit=cover,gravity=auto,format=auto/https:%2F%2Fdev-to-uploads.s3.amazonaws.com%2Fuploads%2Fuser%2Fprofile_image%2F523660%2Fb8af973a-421d-4e12-b45c-c8bab7f72849.png https://dev.to/hiropon21 en hiropon Thu, 03 Dec 2020 03:08:31 +0000 https://dev.to/hiropon21/-ph6 https://dev.to/hiropon21/-ph6 <h2> みんなもこっそりやってる数学独学 </h2> <p>どうもこんにちは. hiroponです. 皆さんは数学好きですか? 弊学は数学科が無いことで有名ですが, 工学徒ばかりでもつまらないよねと思って私も入学したときからずっと数学を独学してきました.</p> <h2> hiropon多様体を始める </h2> <p>3年生になる頃には(今年の話だ)一応松坂先生の集合と位相を一周して, 線形代数の素養もある程度身に付いてきたなぁと思えるようになったので(個人の感想), コロナ騒ぎでお休みだった3,4,5月は多様体とかやってたんですよ. 田舎にこっそり帰って, 山の雪解け水が流れる満開の桜の木の下で, 松島先生のやつをね. あれは今年一番のいい体験だったと思います. 松島先生の多様体入門はお堅い本で有名だったし, 読み進めるうちにやはり私の線形代数の素養が足りていないことに気づいて線形代数も平行して復習しながら学んだりしたわけです. </p> <h2> 日本流多様体の定義 </h2> <p>n次元位相多様体Mの定義は, </p> <ol> <li>Hausdorff空間</li> <li>任意の点のある近傍が実数空間R^nのある近傍と同相</li> <li>第二加算公理を満たす(位相の基底の濃度が高々加算, これを仮定しない時もある)</li> </ol> <p>とするのが恐らく一般的なはずです. 特に2については近傍から実数空間の近傍への同相写像が有るわけですが, その向きって普通M -&gt; Rなわけですよ. 普通. 一般的なものから特殊なものへと矢印を伸ばすと言うか, 座標変換を定義する時も可微分写像を定義するときもこの同相写像は使われるので,最初に定めた向きと一生付き合っていくわけなんです. そんな基礎を学びながら, 多様体上の微分を定義する程度のほんの触りのところで授業が始まってしまったため, それからは夏休みまであまり出来ませんでした.</p> <h2> 一般相対性理論をやりたくなった </h2> <p>夏休み後半あたりから, 急に一般相対性理論をやりたい欲が強まってきました.なにせ, 物理学も本当にゆっくりですが色々やっていたので. 特殊の方は持っていた電磁気の教科書の最後にあったので前期の授業の合間にMaxwell方程式と一緒にじっくり学んで(でも四元化忘れたので絶対に復習が必要. しかもまだ物質中の電磁気やってないが), 一般の方に興味が出てきたわけですね. 素人が学びやすいコンテンツは意外と洋書のほうが多いので, 一般相対性理論の洋書を漁っていたら見つけたんですよ. サムネイル画像のやつです. "An Introduction to Riemannian Geometry - With Application to Mechanics and Relativity". タイトルが完全に私の求めていたそれだったので, 10月はじめに8300円で新品を購入(手痛い出費), やってやるぞと意気込んでいた所で事件は起きたのです.</p> <h2> 同相写像の向きが逆? </h2> <p>なんと, 先の定義の2で使われる同相写像の向きがφ:R^n -&gt; Mだったんですよ.そのせいで松島先生の本で培った諸々の定義に対する直観みたいなものの入力を全部逆向きに考える必要が生じて, 出鼻を挫かれたわけです. まさか逆向きに定義するやつはおらんやろと思っていたので正直驚きました... この定義のせいで松島先生の本で学んだ時のままで考えると色々合わなくなりますから, 本当に面倒で辛い. まさか日本流以外の定義があっただなんて, 初心者には辛い. 下は証拠画像です.<br> <a href="https://res.cloudinary.com/practicaldev/image/fetch/s--fd4a8F1V--/c_limit%2Cf_auto%2Cfl_progressive%2Cq_auto%2Cw_880/https://dev-to-uploads.s3.amazonaws.com/i/b0nk6nvylyam4wfix5gr.png" class="article-body-image-wrapper"><img src="https://res.cloudinary.com/practicaldev/image/fetch/s--fd4a8F1V--/c_limit%2Cf_auto%2Cfl_progressive%2Cq_auto%2Cw_880/https://dev-to-uploads.s3.amazonaws.com/i/b0nk6nvylyam4wfix5gr.png" alt="証拠画像"></a></p> <h2> 線形代数再び </h2> <p>それだけじゃなくて, introductionというのは微分幾何へのintroductionであって外積代数とかテンソルへのintroductionではないので, それらについては一応定義はしてあるけれど他の本で一度ちゃんと学んでることが前提という暗黙の了解がひしひしと伝わるんですよ. お陰で今でも手元の線形代数の本が手放せないです... 学部卒業するまでに線形代数を完全に理解したい... いつも線形代数で躓くし, 先にやるべきは微分幾何で背伸びすることじゃなくて線形代数をきちんと理解することですね. 後輩の皆さんは背伸びしないで線形代数極めましょう. 行列で学ぶ算数の話じゃなくて, 線形代数の方です. 私みたいに苦労しないようにです.</p>