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Representação numérica na computação

And Paiva — Thu, 12 Sep 2024 22:36:24 +0000

No meu artigo anterior, falei sobre o que são os 0's e 1's no mundo da computação.

Para entender como conseguimos representar dados mais complexos a partir de 0's e 1's, é necessário entender sobre sistemas de numeração e representação numérica.

Sistemas de representação numérica

Estamos acostumados com o sistema de numeração decimal (isto é, sistema de base 10). Representamos números combinando 10 possíveis símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) de modo a representar quantidades. Mas este não é o único jeito.

O sistema de numeração binário (ou sistema de base 2) é usado para representar quantidades com apenas dois símbolos: 0 e 1.

Assim como no sistema decimal, podemos combinar 0's e 1's:

10 em binário representa 2 em decimal;
11 representa 3;
100 representa 4;
e daí por diante.

Outros sistemas comumente utilizados no mundo da computação são os sistemas octal (base 8) e hexadecimal (base 16).

No sistema octal, formamos números utilizando apenas os símbolos de 0 a 7.

No sistema hexadecimal, além de 0 a 9, utilizamos A, B, C, D, E e F.

Decimal	Binário	Octal	Hexadecimal
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Dígitos e seus pesos

No sistema decimal, os dígitos de um número podem ser classificados como unidade, dezena, centena... Essas nomenclaturas estão associadas a pesos.

Um dígito de dezena possui um peso 10 vezes maior que um dígito de unidade; um dígito de centena, 10 vezes maior que o de dezena; e assim vai.

Do mesmo modo, no sistema binário, cada dígito tem um peso.

Geralmente o bit mais à esquerda é chamado de Bit Mais Significativo (Most Significant Bit, MSB), e o bit mais à direita, Bit Menos Significativo (Least Significant Bit, LSB).

Agrupando bits e representando números

Na computação, chamamos os símbolos binários de bits (o termo bit é a abreviação de binary digit, ou dígito binário, em português). Geralmente, os bits são agrupados em unidades maiores, por exemplo:

1 nibble = 4 bits;
1 byte = 8 bits;
1 word = 16 bits.

Geralmente, o byte é tomado como unidade de medida para quantificar o tamanho de arquivos, velocidade de upload/download e etc.

Com 1 byte, podemos representar 256 valores diferentes.

Motivo:

Um bit pode assumir 2 valores possíveis (0 ou 1);
Um byte é um grupo de 8 bits;
Logo, podemos representar 2⁸ = 256 combinações diferentes.

"Ah, mas e quanto a valores maiores que 255?"

Podemos agrupar bytes para formar tipos de dados que representam uma faixa maior de valores.

No mundo da programação nos dias de hoje, é comum utilizar tipos de dados inteiros de 32 bits e 64 bits, capazes de representar valores BEEEEEM maiores.

Representação de números negativos

Se a gente for traduzir do binário para o decimal, com 1 byte podemos representar quantidades inteiras de 0 a 255.

Mas e se a gente precisar representar números negativos?

Bom, no geral, as duas maneiras mais conhecidas para isso são a representação sinal-magnitude e a representação complemento de 2 (esta última mais usada).

Números negativos: Formato Sinal-Magnitude

Considerando um grupo de bits, podemos reservar o MSB para representar um sinal.

Neste caso, 0 representa sinal positivo; 1 representa sinal negativo.

Na representação Sinal-Magnitude, a parte que representa o valor numérico permanece igual na representação positiva e na negativa.

Números negativos: Formato Complemento de 2

Na representação por Complemento de 2, também reservamos o MSB para representar o sinal. No entanto, a parte que representa o valor muda.

Para obter a parte que representa o valor, nós invertemos todos os bits (o que é 0 vira 1 e vice-versa), e depois somamos 1 ao valor invertido.

"Ah, mas por que Complemento de 2 é mais usado que Sinal-Magnitude?"

A representação em Complemento de 2 é mais eficiente para operações aritméticas, como por exemplo a subtração.

Representação de números não-inteiros

Assim como podemos representar números inteiros com o sistema de numeração binário, também podemos representar partes não-inteiras.

As partes não-inteiras tem pesos com expoentes negativos, levando à geração de valores não-inteiros.

No geral, os dois formatos de representação mais comuns para números não-inteiros são:

Ponto Fixo;
Ponto Flutuante.

Números não-inteiros: Ponto Fixo

A representação em Ponto Fixo estabelece que, dado um conjunto de bits, o ponto de separação (que a gente geralmente chama de "casa decimal") é fixado em uma determinada posição.

O Ponto Fixo pode ter suas partes inteira e fracionária dimensionadas de várias formas.

Um determinado valor representado em Ponto Fixo Qm.n possui:

1 bit reservado para sinal;
m bits reservados para a parte inteira;
n bits reservados para a parte fracionária.

Vantagens da representação em ponto fixo:

Eficiência computacional;
Recomendado para uso em ambientes com poder de computação limitado;
Os mesmos circuitos para aritmética de números inteiros podem ser usados para cálculos com números de ponto fixo.

Desvantagens da representação em ponto fixo:

Falta de flexibilidade e precisão limitada na representação da parte fracionária;
Erros significativos de arredondamento/truncamento.

Pensando nas desvantagens, a IEEE produziu o Padrão IEEE-754 para representação de números em Ponto Flutuante.

Números não-inteiros: Ponto Flutuante

Na representação convencional em Ponto Flutuante definida pelo Padrão IEEE-754, podemos ter precisão simples (32 bits) ou dupla (64 bits) para representar um número.

Num número em ponto flutuante, são definidas 3 partes principais:

Sinal;
Expoente;
Mantissa.

Mas para que essas partes servem?

No geral, para recuperar um número a partir da representação em ponto flutuante, calculamos a seguinte fórmula:

(-1)^{S} \cdot (1, M) \cdot 2^{E - 127}

N = Número;
S = Sinal;
E = Expoente;
M = Mantissa.

Mas como se chegou a essa fórmula?

Primeiro, vamos entender a parte do sinal.

Calculando $1)^{S}$ , obtemos o fator multiplicador que atribui o sinal positivo ou negativo ao número.

Caso S = 0, o fator multiplicador é 1. Caso S = 1, o fator é -1.

1)^{0} = 1

1)^{1} = -1

Quanto ao expoente e a mantissa:

A mantissa carrega o valor numérico.

O expoente determina a posição da casa que irá dividir a representação binária em parte inteira e parte fracionária.

Chamamos esta representação de Ponto Flutuante porque, por meio dela, podemos reposicionar a "casa" de modo dinâmico, e assim, conseguimos algumas vantagens:

Maior precisão (comparada com o ponto fixo);
Maior flexibilidade no posicionamento da casa;
Pode representar uma faixa maior de valores.

Quanto às desvantagens do ponto flutuante, temos:

Maior complexidade para operações aritméticas;
Representação não é totalmente imune a erros de arredondamento/truncamento (ainda assim, os erros estão dentro do limite do aceitável).

A complexidade e a velocidade das operações aritméticas com números em ponto flutuante não chega a ser uma preocupação tão grande hoje em dia.

Os processadores e microcontroladores modernos já contam com estruturas dedicadas e otimizadas para operações com ponto flutuante.

Afinal, o que são os 0's e 1's?

And Paiva — Fri, 14 Jun 2024 22:15:43 +0000

Você já deve ter ouvido por aí que o computador "só entende 0's e 1's". Mas de onde vem esses 0's e 1's? O que eles representam?

Analógico vs. Digital

Antigamente, os sistemas eletrônicos lidavam com a informação de forma analógica, ou seja, os sinais elétricos que representavam a informação podiam assumir uma infinidade de amplitudes de tensão.

Exemplo: Rádio AM, Rádio FM, TV Analógica.

Todos os sistemas são suscetíveis a ruído, e para informação representada de modo analógico, isto é um grande problema, pois o processamento de sinais analógicos depende de alta precisão na amplitude, a qual é bastante afetada pelo ruído.

^{Fonte: https://www.predig.com/whitepaper/reducing-signal-noise-practice}

A codificação digital veio como uma forma de reduzir erros decorrentes do ruído, e para isso, a informação é representada apenas em regiões de tensão bem definidas.

(Isso não significa que sistemas digitais são totalmente imunes a erros.)

^{Fonte: https://www.predig.com/whitepaper/reducing-signal-noise-practice}

Sinal digital

No geral, um sinal digital pode assumir dois níveis de tensão:

0 V, ao qual atribuímos o valor lógico 0;
5 V / 3,3 V / 1,8 V / etc. (dependendo da tecnologia de implementação), ao qual é atribuído o valor lógico 1.

Em computação, o "valor lógico" é chamado de bit (abreviação de binary digit, ou dígito binário).

Todos aqueles 0's e 1's dos quais você ouve falar são representados fisicamente pelo fluxo de sinais elétricos, os quais são controlados por meio de dispositivos eletrônicos.

Transistores e Portas Lógicas

Em circuitos digitais modernos, os dispositivos utilizados para controlar tais sinais são os transistores.

Transistores são compostos de materiais semicondutores dispostos de maneira inteligente, de modo que podem ser utilizados como chaveadores.

"Ah, mas como assim chaveadores?"

Pense em um interruptor de lâmpada: podemos LIGÁ-LO ou DESLIGÁ-LO.

Do mesmo modo, o transistor pode ser controlado para permitir ou bloquear a passagem de corrente elétrica.

Os transistores são utilizados para construir arranjos levemente mais complexos, aos quais chamamos de "portas lógicas".

Tais componentes recebem sinais digitais de entrada e retornam um sinal digital como saída, executando uma operação lógica.

Antes de partir para as portas lógicas:

Assim como chamamos os dois estados de um interruptor de LIGADO e DESLIGADO, também podemos atribuir significado ao 1 e ao 0, aos quais geralmente chamamos de TRUE e FALSE (VERDADEIRO e FALSO), respectivamente.

Porta lógica AND

A porta lógica AND (em português, E) recebe várias entradas e retorna uma saída.

Tal porta retorna verdadeiro (1) se todas as entradas são verdadeiras (1) ao mesmo tempo; caso contrário, ela retorna falso (0).

Q = A e B

Porta lógica OR

A porta OR (OU) funciona de outra forma:

Dentre as várias entradas, basta que pelo menos uma delas seja verdadeira (1) para que a saída seja verdadeira (1)

Q = A ou B

Porta lógica XOR

A porta XOR (OU EXCLUSIVO) funciona de forma diferente: Dadas duas entradas, apenas uma das duas deve receber um sinal verdadeiro (1) para que a saída seja verdadeira (1), o que significa: OU A, OU B (A E B ao mesmo tempo retorna 0)

Q = ou A, ou B

Porta lógica NOT

A porta NOT (NÃO) recebe apenas uma entrada, e como o próprio nome diz, o estado lógico da entrada é invertido na saída

Q = não A

Porta lógica NAND

A porta NAND (NÃO E) é literalmente o contrário da porta AND: só sai falso (0) se todas as entradas forem verdadeiras (1) ao mesmo tempo. É basicamente a mesma coisa que pegar uma porta AND e colocar uma porta NOT na saída.

Q = não (A e B)

Porta lógica NOR

Do mesmo modo, a porta NOR (NÃO OU) é o contrário da porta OU: basta que pelo menos uma das entradas seja verdadeira (1) para que a porta retorne falso (0). É basicamente a mesma coisa que pegar uma porta OR e colocar uma porta NOT na saída.

Q = não (A ou B)

Porta lógica XNOR

A porta XNOR (NÃO OU EXCLUSIVO) também é chamada de "porta coincidência", pois ela retorna verdadeiro (1) se suas duas entradas forem iguais. É a mesma coisa de pegar uma porta XOR e colocar uma porta NOT na frente.

Q = não (ou A, ou B)

Paralelo entre portas lógicas e programação

Em programação, podemos pensar nos laços condicionais como "aplicações de portas lógicas".

Geralmente, quando programamos um if, estabelecemos condições para que um determinado bloco de código seja executado. Cada condição pode ser pensada como um bit (0 se for falsa, 1 se for verdadeira). Podemos fazer operações com esses bits, como se estivéssemos usando portas lógicas. Na maioria das linguagens de programação, podemos usar os operadores &&, || e ! para as operações AND, OR e NOT, respectivamente. Estes operadores são chamados de operadores lógicos.

Para além das condicionais, podemos utilizar operações correlatas às portas lógicas para comparar números bit a bit por meio dos operadores bitwise. Para tratar deste assunto com mais profundidade, é necessário entender melhor sobre sistemas de numeração (explico sobre esse assunto neste artigo aqui).

Associações de portas lógicas

Portas lógicas podem ser associadas e conectadas entre si para formar circuitos mais complexos. No geral, é possível construir dois tipos de circuitos:

Circuitos combinacionais, que propagam os sinais de entrada pelas portas lógicas até a saída, sem realimentação;
Circuitos sequenciais, que possuem realimentação arranjada de forma inteligente, formando as peças básicas que constituem o que conhecemos como memória.

Um exemplo de circuito combinacional é o circuito da imagem abaixo (as bolinhas nas entradas representam portas NOT). Os circuitos sequenciais provavelmente serão tratados em um futuro artigo.

Álgebra Booleana

Além de diagramas, podemos representar os circuitos combinacionais como expressões algébricas, com base na Álgebra Booleana.

A álgebra booleana foi criada por George Boole, um matemático inglês, durante o século XIX. Com o tempo, o trabalho de Boole se provou útil para representar algebricamente as possíveis relações e operações envolvendo informações binárias.

Representando as portas lógicas por meio da álgebra booleana:

Porta lógica	Expressão algébrica
NOT	$\overline{A}$ , ou $Q = A^{'}$
AND	$\cdot B$
NAND	$\overline{A \cdot B}$ , ou $\cdot B)'$
OR	$Q = A + B$
NOR	$\overline{A + B}$ , ou $Q = (A + B)^{'}$
XOR	$\oplus B$
XNOR	$\odot B$

Assim como em expressões aritméticas, expressões booleanas também possuem suas propriedades de operação, algumas delas representadas abaixo.

Bilhões de portas lógicas!

Circuitos integrados, ou chips, como são popularmente conhecidos, costumam conter circuitos muito mais complexos e com bilhões de transistores formando um incrível número de portas lógicas, arranjadas de modo inteligente para executar várias funções.

Tomemos como exemplo processadores de computador e de smartphone: várias portas lógicas são arranjadas para formar a Unidade Lógica e Aritmética (ULA), a qual é responsável por efetuar operações matemáticas; Registradores, que guardam temporariamente dados que são utilizados para executar instruções; a Unidade de Controle, que é responsável por disparar os sinais elétricos responsáveis por gerenciar o fluxo de dados no processador e comunicação do processador com periféricos; dentre outras funcionalidades.

Caso tenha curiosidade em entender melhor como é o processo de fabricação de microchips, recomendo o seguinte vídeo: