Algorithmes combinatoires pour résoudre des problèmes réels : Guide pratique

Introduction

Les algorithmes combinatoires sont essentiels pour résoudre des problèmes complexes dans lesquels il faut explorer de nombreuses combinaisons possibles pour trouver la solution optimale.

Ces problèmes apparaissent dans la vie réelle : planification de tâches, optimisation de routes, allocation de ressources, design de réseaux, et bien plus.

Dans cet article, nous allons explorer les algorithmes combinatoires, montrer des exemples concrets et fournir un guide pratique pour les implémenter en Python.

Qu’est-ce qu’un algorithme combinatoire ?

Un algorithme combinatoire explore des ensembles finis de solutions possibles pour un problème donné et cherche :

• La meilleure solution (optimisation)
• Une solution satisfaisante rapidement (heuristique)

Ces algorithmes sont souvent utilisés pour :

• Problèmes NP-difficiles, comme le voyageur de commerce (TSP)
• Optimisation de réseaux (transport, énergie, communication)
• Planification et ordonnancement (emplois du temps, production industrielle)

Problèmes réels résolus par les algorithmes combinatoires

1. Le problème du voyageur de commerce (TSP)

Objectif : Trouver le chemin le plus court passant par plusieurs villes une seule fois et revenant au point de départ.

Applications : Livraison, logistique, drones, circuits touristiques.

1. Ordonnancement de tâches

Objectif :Affecter des tâches à des ressources tout en minimisant le temps total ou les coûts.

Applications : Production industrielle, cloud computing, gestion d’équipe.

1. Optimisation de réseau

Objectif : Connecter des points (ordinateurs, villes, stations) avec un coût minimal.

Applications : Télécommunications, réseaux électriques, transport.

lgorithmes combinatoires populaires

Algorithme	Description	Exemple d’usage
Backtracking	Explore toutes les combinaisons possibles	Sudoku, TSP petit nombre de villes
Branch and Bound	Prune les solutions impossibles	TSP, Knapsack problem
Algorithme glouton (Greedy)	Prend la meilleure solution locale	Minimum Spanning Tree, Huffman coding
Programmation dynamique	Décompose le problème en sous-problèmes	Knapsack, séquence de Fibonacci
Métaheuristiques	Exploration intelligente de solutions	Algorithme génétique, PSO, fourmis, colonies d’abeilles

Exemple pratique : Résolution du problème du sac à dos (Knapsack) avec programmation dynamique

Problème : Vous avez un sac pouvant contenir un poids maximal W. Chaque objet a un poids et une valeur. Comment choisir les objets pour maximiser la valeur totale sans dépasser le poids ?

python
def knapsack(weights, values, W):
    n = len(weights)
    dp = [[0]*(W+1) for _ in range(n+1)]

    for i in range(1, n+1):
        for w in range(W+1):
            if weights[i-1] <= w:
                dp[i][w] = max(dp[i-1][w], dp[i-1][w - weights[i-1]] + values[i-1])
            else:
                dp[i][w] = dp[i-1][w]
    return dp[n][W]
weights = [2, 3, 4, 5]
values = [3, 4, 5, 6]
W = 5

max_value = knapsack(weights, values, W)
print("Valeur maximale :", max_value)
Résultat :

Valeur maximale : 7

Ici, la meilleure combinaison est de prendre les objets 1 et 2.



> Approche avancée : Algorithme génétique pour TSP

Pour les problèmes plus grands, les algorithmes exacts deviennent trop lents. Les algorithmes génétiques permettent de trouver des solutions proches de l’optimale rapidement :

Représenter chaque chemin comme un chromosome

Croisement et mutation pour explorer de nouvelles solutions

Sélection des meilleurs chemins selon un critère (distance totale)



> Conclusion

Les algorithmes combinatoires sont indispensables pour résoudre des problèmes complexes dans la vie réelle, allant de la logistique à l’optimisation industrielle.

Que ce soit avec programmation dynamique, métaheuristiques, ou algorithmes gloutons, la clé est de choisir la méthode adaptée à la taille et à la complexité du problème.

Pour aller plus loin, vous pouvez explorer :

Algorithmes de colonies de fourmis pour TSP

Optimisation multi-objectif (MOEA)

Algorithmes hybrides combinant heuristique et exact




> Ressources

Python Docs – itertools

Introduction aux algorithmes génétiques

Medium – Optimisation combinatoire

GitHub Repo Exemple

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