引言
在上一篇Dev.to 連結 我有介紹股票質押策略與計算器使用，並利用 Python 打造了計算器來模擬資產變化。
根據 Python 的模擬數據，我們得出了幾個核心觀察：
維持率的雙面刃： 維持率降至 200%~300% 時，資產增幅顯著，但可承受跌幅僅剩 35%~56.7%，極易觸發斷頭。
槓桿的 Alpha： 在維持率 500% 的溫和槓桿下，淨資產報酬仍可超越「單純買進持有」策略約 17%。
提領率的敏感度： 壓低「絕對提領率」比尋找極低借款利率更重要。
這次我想單純利用數學公式來推導這套策略，驗證上述模擬結果在理論上是否絕對成立。
基本定義與變數假設
為進行推導，首先定義公式中的各項變數與核心關係式
變數
定義
變數
定義
A
總資產
L
總借款
N
淨資產 (A - L)
m
維持率 (A / L)
r
預期年化報酬率
i
借款年利率
T
經過年數
λ \lambda λ
槓桿倍數 ( A / N)
W
每年固定提領金額
w
提領率
基礎核心關係式：
根據台灣券商的維持率定義
m = A L = N + L L m = \frac{A}{L} = \frac{N+L}{L} m = L A = L N + L
，我們可以推導出負債與淨值的關係：
L = N m − 1
L = \frac{N}{m-1}
L = m − 1 N
而槓桿倍數
λ \lambda λ
定義為總資產與淨資產的比值
λ = A N = N + L N \lambda = \frac{A}{N} = \frac{N+L}{N} λ = N A = N N + L
，由此可知：
L = N ( λ − 1 )
L = N(\lambda-1)
L = N ( λ − 1 )
A = N ⋅ λ
A = N \cdot \lambda
A = N ⋅ λ
累積模式：恆定槓桿的數學驗證
在資產累積期，策略核心是保持槓桿倍數
λ \lambda λ
恆定。
單一年度的資產變化：
期末總資產：
A t 1 = A t 0 ( 1 + r ) A_{t_1}=A_{t_0}(1+r) A t 1 = A t 0 ( 1 + r )
L t 1 = L t 0 ( 1 + i ) L_{t_1}=L_{t_0}(1+i) L t 1 = L t 0 ( 1 + i )
N t 1 = A t 1 − L t 1 N_{t_1}=A_{t_1}-L_{t_1} N t 1 = A t 1 − L t 1
將前述的基礎關係式代入展開：
N t 1 = A t 0 ( 1 + r ) − L t 0 ( 1 + i ) N_{t_1}=A_{t_0}(1+r)-L_{t_0}(1+i) N t 1 = A t 0 ( 1 + r ) − L t 0 ( 1 + i )
N t 1 = N t 0 ⋅ λ ( 1 + r ) − N t 0 ( λ − 1 ) ( 1 + i ) N_{t_1}=N_{t_0}\cdot\lambda(1+r)-N_{t_0}(\lambda-1)(1+i) N t 1 = N t 0 ⋅ λ ( 1 + r ) − N t 0 ( λ − 1 ) ( 1 + i )
得到恆定槓桿的單年成長公式 ：
N t 1 = N t 0 ⋅ [ λ ( r − i ) + ( 1 + i ) ] N_{t_1}=N_{t_0}\cdot[\lambda(r-i)+(1+i)] N t 1 = N t 0 ⋅ [ λ ( r − i ) + ( 1 + i )]
令槓桿成長因子
G = λ ( r − i ) + ( 1 + i ) G = \lambda(r-i) + (1+i) G = λ ( r − i ) + ( 1 + i )
，則經過T年後的淨資產為：
N T = N 0 ⋅ G T N_T =N_0\cdot G^T N T = N 0 ⋅ G T
💡 槓桿 vs 非槓桿的絕對勝負條件：
非槓桿策略 (單純持有)：
N T ( n ) = N 0 ( 1 + r ) T N_{T(n)} = N_0(1+r)^T N T ( n ) = N 0 ( 1 + r ) T
槓桿恆定策略：
N T ( l ) = N 0 ⋅ [ λ ( r − i ) + ( 1 + i ) ] T N_{T(l)} = N_0 \cdot [\lambda(r-i) + (1+i)]^T N T ( l ) = N 0 ⋅ [ λ ( r − i ) + ( 1 + i ) ] T
假設
m m − 1 ( r − i ) + ( 1 + i ) > ( 1 + r ) ⇒ m m − 1 ( r − i ) > r − i \frac{m}{m-1}(r-i)+(1+i)>(1+r)\Rightarrow\frac{m}{m-1}(r-i)>r-i m − 1 m ( r − i ) + ( 1 + i ) > ( 1 + r ) ⇒ m − 1 m ( r − i ) > r − i
只要
r > i r>i r > i
槓桿
G G G
必大於
( 1 + r ) (1+r) ( 1 + r )
提領模式：借貸提領 vs 傳統賣股提領
進入退休提領期，我們不再執行再投資，而是每年固定取出金額
W = N 0 ⋅ w W = N_0 \cdot w W = N 0 ⋅ w
作為生活費。我們比較兩種常見做法：
傳統 4% 法則 (對照組) ：賣出資產以獲取現金 W。
每年賣出 W，這筆錢將無法享受後續的複利成長（即機會成本）。其實質淨資產為初始資產的複利，扣除每年提領金所構成的等比級數總和：
A T ( n ) = A 0 ( 1 + r ) T − [ W ( 1 + r ) T + W ( 1 + r ) T − 1 + … + W ( 1 + r ) ] A_{T(n)}=A_0(1+r)^T - [W(1+r)^T +W(1+r)^{T-1} +…+W(1+r) ] A T ( n ) = A 0 ( 1 + r ) T − [ W ( 1 + r ) T + W ( 1 + r ) T − 1 + … + W ( 1 + r )]
N T ( n ) = A 0 ( 1 + r ) T − W ⋅ ( 1 + r ) [ ( 1 + r ) T − 1 ] r N_{T(n)}= A_0(1+r)^T - W\cdot\frac{(1+r)[(1+r)^T-1]}{r} N T ( n ) = A 0 ( 1 + r ) T − W ⋅ r ( 1 + r ) [( 1 + r ) T − 1 ]
質押借貸策略 (實驗組) ：不賣資產，每年初向券商借入現金 W。
總資產完整保留享受複利 r，但債務 L 每年增加 W，並以利率 i 產生利息，形成另一個等比級數：
L t = W ( 1 + i ) t + W ( 1 + i ) t − 1 + . . . + W ( 1 + i ) = W ⋅ ( 1 + i ) [ ( 1 + i ) t − 1 ] i L_t =W(1+i)^t+W(1+i)^{t-1}+...+W(1+i)=W\cdot\frac{(1+i)[(1+i)^t-1]}{i} L t = W ( 1 + i ) t + W ( 1 + i ) t − 1 + ... + W ( 1 + i ) = W ⋅ i ( 1 + i ) [( 1 + i ) t − 1 ]
N T ( l ) = A t 0 ( 1 + r ) T − W ⋅ ( 1 + i ) [ ( 1 + i ) T − 1 ] i N_{T(l)} = A_{t_0}(1+r)^T - W \cdot \frac{(1+i)[(1+i)^T-1]}{i} N T ( l ) = A t 0 ( 1 + r ) T − W ⋅ i ( 1 + i ) [( 1 + i ) T − 1 ]
註： 此公式假設進入提領期時無既有債務。若累積期有遺留債務
L 0 L_0 L 0
，只需扣除
L 0 ( 1 + i ) T \small L_0(1+i)^T L 0 ( 1 + i ) T
即可
💡 兩者差異比較 (
Δ N T \Delta N_T Δ N T
)：
我們假設起始狀態相同 (
A t 0 = A 0 A_{t_0} = A_0 A t 0 = A 0
)，將兩者相減：
Δ N T = N T ( l ) − N T ( n ) \Delta N_T = N_{T(l)} - N_{T(n)} Δ N T = N T ( l ) − N T ( n )
Δ N T = W ⋅ [ ( 1 + r ) [ ( 1 + r ) T − 1 ] r − ( 1 + i ) [ ( 1 + i ) T − 1 ] i ] \Delta N_T = W \cdot \left[ \frac{(1+r)[(1+r)^T-1]}{r} - \frac{(1+i)[(1+i)^T-1]}{i} \right] Δ N T = W ⋅ [ r ( 1 + r ) [( 1 + r ) T − 1 ] − i ( 1 + i ) [( 1 + i ) T − 1 ] ]
中括號內的結構完全相同，唯一的變數是
r r r
與
i i i
。
f ( x ) = ( 1 + x ) [ ( 1 + x ) T − 1 ] x f(x) = \frac{(1+x)[(1+x)^T-1]}{x} f ( x ) = x ( 1 + x ) [( 1 + x ) T − 1 ]
在
x > 0 x > 0 x > 0
時為嚴格遞增函數 (Monotonically Increasing Function)。
因此得證：只要市場報酬率
r > r > r >
借款利率
i i i
，則
f ( r ) > f ( i ) f(r) > f(i) f ( r ) > f ( i )
，
Δ N T \Delta N_T Δ N T
必定大於 0。 「借錢生活」在數學上絕對比「賣股生活」留下更多淨資產 。
結論：純數學的盲點與 Python 模擬的價值
透過公式推導，我們在數學上確認了「借新還舊」策略的絕對可行性（條件：
r > i r > i r > i
）。但數學公式存在一個致命盲點：它假設
r r r
與
i i i
每年都是固定的常數。
在現實金融市場中，報酬率
r r r
是呈現常態分佈波動的，這會帶來報酬順序風險 (Sequence of Returns Risk, SORR)。如果提領期的前三年遇到連續大跌（
r r r
為負數），即使長期平均
r r r
依然大於
i i i
，公式無法告訴你：你的資產會不會在第三年就因為跌破「維持率下限」而被強制斷頭清算。
數學給了我們策略的「理論上限」，而透過 Python 建構的程式模擬，能幫助我們劃定現實中的「生存下限」。 兩者結合，才是資料分析完整的樣貌。
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