Binomial Distribution คือ?

⭐️ ก่อนที่เราจะไปรู้จักกับการแจกแจงแบบ Binomial สิ่งแรกที่เราต้องรู้จักเป็นอันดับแรกก็คือ การแจกแจงที่เรียกว่า Bernoulli

การแจกแจงแบบ Bernoulli เป็นยังไง ?

Bernoulli Distribution คือ การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องของตัวแปรสุ่ม X โดย X จะมีค่าเท่ากับ 1 ด้วยความน่าจะเป็น p และมีค่าเท่ากับ 0 ด้วยความน่าจะเป็น 1-p โดย p คือความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการที่เราสนใจโดยเราจะสามารถเขียน ฟังก์ชันความน่าจะเป็น ได้แบบนี้

เพื่อความเข้าใจเรามาดูตัวอย่างกัน

Example

ในการทำข้อสอบปรนัยที่มี 4 ตัวเลือก 1 ข้อ โดยการเดา

กำหนดให้
X=1 เมื่อคำตอบเราเลือกเป็นคำตอบที่ถูก
X=0 เมื่อคำตอบเราเลือกเป็นคำตอบที่ผิด

ดังนั้น X มีการแจกแจงแบบ Bernoulli และการแจกแจงความน่าจะเป็นเขียนได้ดังนี้

👆 ถ้ายังงงงั้นลองแทนค่ากลับดู ถ้าเราอยากจะรู้โอกาสที่เราเดาข้อสอบข้อนี้ถูกก็คือเราต้องการความน่าจะเป็นที่ X=1

ก็จะได้ว่าโอกาสที่เราทำถูก P(X=1) = 1/4 = 25% ในทํานองเดียวกันจะได้ว่าโอกาสที่เราทำผิด P(X=0) = 3/4 = 75% จบ❗❗

อ้าวแล้วถ้าเราเดาหลายข้อหละเราอยากรู้การความน่าจะเป็นที่จะเดาถูก 10 ข้อจากการเดา 30 ข้อ ต้องทำไง❓ งั้นไปต่อที่ Binomial กันดีกว่า

การแจกแจงแบบ Binomial เป็นยังไง ?

Binomial Distribution จะได้จากการทดลองที่เป็นแบบ Bernoulli ต่างกันที่ Bernoulli ทำการทดลองเพียงครั้งเดียว แต่ Binomial จะทำซ้ำๆกัน n ครั้ง โดยการทดลองแต่ละครั้งเป็นอิสระต่อกัน ให้ X เป็นจำนวนครั้งของความสำเร็จ (ความน่าจะเป็น = p) เราจะสามารถเขียน ฟังก์ชันความน่าจะเป็น ได้แบบนี้

เพื่อความเข้าใจเรามาดูตัวอย่างกัน

Example

ข้อสอบชุดหนึ่งมี 5 ข้อ แต่ละข้อเป็นแบบปรนัยที่มี 4 ตัวเลือก ถ้าทำข้อสอบชุดนี้โดยการเดาทุกข้อ ความน่าจะเป็นที่จะทำถูก 3 ข้อเป็นเท่าไหร่❓

ถ้าให้ X เป็นจำนวนข้อที่เดาถูกจะได้ว่า X เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกจางแบบ Binomial โดยที่

งั้นเราลองมาหาความน่าจะเป็นที่จะทำถูก 3 ข้อก็จะได้แบบนี้

อธิบายที่มาเพิ่มเติมสักหน่อย โอกาสการทำข้อสอบถูกของเราในแต่ละข้อคือ 1/4 ถูกมั้ย ( มีข้อถูกข้อเดียวจาก 4 ข้อ ) โอกาสที่เราจะทำถูก 3 ข้อ เลยเป็น 1/4 ยกกำลัง 3 อีก 2 ข้อผิดก็เลยคูณด้วย 3/4 ยกกำลัง 2

แล้ว 5 เลือก 3 (มันเรียกว่า Combinations) มาไง❓

ก็รูปแบบที่เราทำถูก 3 ข้อ ไม่ได้มีแค่แบบเดียวหนิถ้าเราตอบว่าความน่าจะเป็น เท่ากับ 1/4 ยกกำลัง 3 คูณด้วย 3/4 ยกกำลัง 2 มันคือโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ {ถูก,ถูก,ถูก,ผิด,ผิด} แค่อันเดียว
แต่การทำถูก 3 ข้อยังมีแบบ {ผิด,ถูก,ถูก,ถูก,ผิด}, {ผิด,ผิด,ถูก,ถูก,ถูก}, {ถูก,ผิด,ถูก,ถูก,ผิด}, {ถูก,ผิด,ผิด,ถูก,ถูก}, ..... โดยมันจะมีทั้งหมด 10 แบบ ซึ่งก็คือ 5 เลือก 3 ในสูตรนั่นเอง

ตอนนี้เราก็ได้ที่มาของสูตร Binomial แล้วนะครับ 🎉

งั้นถ้าเราอยากหาความน่าจะเป็นที่จะทำถูกอย่างน้อย 3 ข้อหละ❓
มันก็คือโอกาสที่เราจะทำถูก 3 ข้อ + โอกาสที่เราจะทำถูก 4 ข้อ + โอกาสที่เราจะทำถูก 5 ข้อ นั่นเองครับ

แถมโจทย์ทิ้งท้าย Link โจทย์

Many airlines consistently report that about 12% of all booked passengers do not show up to the gate
due to cancellations and no-shows. If an airline sells 110 tickets for a flight that seats 100 passengers,
what is the probability that the airline overbooked (sold more tickets than seats)? Let X be (random)
the number of ticket holders who arrive at the gate, out of the 110 ticket holders.