Quantencomputing verständlich erklärt — Episode 5

Quantencomputing verständlich erklärt — Episode 5### Was bedeutet Verschränkung wirklich?

Am Ende von Episode 4 hatte unser Quantenprogramm den folgenden Zustand erzeugt:

0,707|00⟩ + 0,707|11⟩Wenn wir beide Qubits messen, erhalten wir entweder 00 oder 11. 01 und 10 treten nicht auf. Beide gemessenen Bits besitzen deshalb immer denselben Wert: entweder sind beide 0 oder beide 1.

Aber reicht das bereits aus, um von Verschränkung zu sprechen?

Nein.

Gleiche Ergebnisse können auch klassisch entstehen

Ein klassisches Programm könnte eine Münze werfen und abhängig vom Ergebnis zwei Qubits eindeutig auf 00 oder 11 setzen:

Münze zeigt Kopf → 00
Münze zeigt Zahl → 11Wiederholen wir das Programm häufig, erhalten wir ungefähr:

50 % 00
50 % 11Die Ergebnisse sehen genauso aus wie bei unserem Quantenprogramm.

Trotzdem geschieht bei dieser Vorbereitung nichts Quantentypisches. Das klassische Programm entscheidet zuerst zwischen 0 und 1 und setzt danach beide Qubits auf denselben feststehenden Wert. Vor dem Auslesen existiert bereits entweder 00 oder 11. Wir wissen nur noch nicht, welcher Zustand erzeugt wurde.

Das ist eine klassische Verbindung zwischen zwei Werten. Man nennt sie Korrelation.

*Zwei immer gleiche Messergebnisse beweisen für sich allein noch keine Verschränkung.*Um den Unterschied zu erkennen, müssen wir untersuchen, wie sich der Zustand bei weiteren Programmbefehlen verhält.

Zwei Zustände mit derselben ersten Messung

Wir vergleichen nun zwei Fälle.

Fall 1: Klassisch ausgewählte Qubits

Das klassische Zufallsprogramm hat die Qubits bereits eindeutig auf einen der beiden Zustände gesetzt:

00 oder 11Über viele Ausführungen verteilt entstehen beide ungefähr gleich häufig.

Fall 2: Das Quantenprogramm

Vor der Messung lautet der gemeinsame Quantenzustand:

0,707|00⟩ + 0,707|11⟩Das ist nicht nur eine Liste der möglichen Messergebnisse. Zu 00 und 11 gehören zwei Amplituden, die bei weiteren Quantengattern gemeinsam weiterverarbeitet werden können.

Messen wir sofort, sehen beide Fälle gleich aus. Führen wir vor der Messung weitere Gatter aus, verhalten sie sich jedoch unterschiedlich.

Ein zusätzlicher Programmschritt macht den Unterschied sichtbar

Wir wenden vor der Messung auf beide Qubits jeweils ein H-Gatter an:

gemeinsamer Zustand
↓
H auf das erste Qubit
↓
H auf das zweite Qubit
↓
messenWarum verwenden wir H? Weil wir aus Episode 2 bereits wissen, dass H nicht nur Wahrscheinlichkeiten verändert. Das Gatter erzeugt positive und negative Amplituden. Treffen diese Beiträge später beim selben möglichen Ergebnis zusammen, können sie sich verstärken oder auslöschen.

Für eine eingegebene 0 gilt:

0 → +0,707 für 0 und +0,707 für 1Für eine eingegebene 1 gilt:

1 → +0,707 für 0 und −0,707 für 1Das Minuszeichen verändert bei einer sofortigen Messung noch nichts:

(+0,707)² ≈ 50 %
(−0,707)² ≈ 50 %Bei mehreren Gattern ist das Vorzeichen jedoch entscheidend, weil Amplituden vor der Messung addiert werden.

Was geschieht mit dem Beitrag von 00?

Wenden wir H auf beide Stellen von 00 an, verteilt sich dessen Beitrag gleichmäßig auf alle vier möglichen Ergebnisse:

Mögliches ErgebnisBeitrag aus 0000+0,353501+0,353510+0,353511+0,3535

Woher kommt 0,3535?

Für jede der beiden Stellen entsteht der Faktor 0,707. Für das gemeinsame Ergebnis werden beide Faktoren miteinander multipliziert:

0,707 × 0,707 ≈ 0,5Der ursprüngliche Beitrag von 00 besaß bereits die Amplitude 0,707:

0,707 × 0,5 ≈ 0,3535### Was geschieht mit dem Beitrag von 11?

Auch der Beitrag von 11 verteilt sich auf alle vier möglichen Ergebnisse. Wegen der negativen Amplitude des H-Gatters entstehen dabei unterschiedliche Vorzeichen:

Mögliches ErgebnisBeitrag aus 1100+0,353501−0,353510−0,353511+0,3535

Nun treffen bei jedem möglichen Messergebnis die Beiträge aus 00 und 11 zusammen.

Die Amplituden werden addiert

Mögliches ErgebnisBeitrag aus 00Beitrag aus 11Neue Amplitude00+0,3535+0,3535+0,70701+0,3535−0,3535010+0,3535−0,3535011+0,3535+0,3535+0,707

Die Beiträge für 01 und 10 löschen sich aus. Die Beiträge für 00 und 11 verstärken sich.

Nach beiden H-Gattern lautet der Zustand deshalb wieder:

0,707|00⟩ + 0,707|11⟩Bei der anschließenden Messung erhalten wir weiterhin nur 00 oder 11.

Warum verhält sich die klassische Mischung anders?

Bei den klassisch ausgewählten Qubits liegt vor der weiteren Verarbeitung bereits entweder 00 oder 11 vor. Es gibt nicht gleichzeitig einen Amplitudenbeitrag aus 00 und einen Amplitudenbeitrag aus 11, die sich gegenseitig auslöschen könnten.

Wenden wir die beiden H-Gatter auf einen tatsächlich vorliegenden Eingang 00 an, entstehen bei der Messung alle vier Ergebnisse mit jeweils 25 Prozent.

Dasselbe gilt für einen tatsächlich vorliegenden Eingang 11.

Auch über die klassische Mischung aus beiden Eingängen erhalten wir deshalb:

25 % 00
25 % 01
25 % 10
25 % 11Damit können wir die beiden Fälle unterscheiden:

Zustand vor den beiden H-GatternMessergebnisse danachklassisch entweder 00 oder 1100, 01, 10, 110,70700⟩ + 0,70711⟩nur 00 oder 11

Die erste Messung allein zeigte nur die gleichen Wahrscheinlichkeiten. Die zusätzlichen Gatter machen sichtbar, dass der Quantenzustand außerdem eine feste Beziehung zwischen seinen Amplituden enthält.

Was bedeutet Verschränkung nun konkret?

Bei zwei unabhängigen Qubits könnten wir den Zustand des ersten Qubits und den Zustand des zweiten Qubits getrennt angeben.

Beim Zustand

0,707|00⟩ + 0,707|11⟩geht das nicht. Die Amplitude gehört jeweils zu einem vollständigen gemeinsamen Ergebnis: 00 oder 11.

Wir können den Zustand daher nicht in einen eigenständigen Zustand des ersten Qubits und einen eigenständigen Zustand des zweiten Qubits zerlegen.

Genau das bedeutet hier Verschränkung:

*Der Quantenzustand gehört nur dem Qubit-Paar als Ganzem. Er lässt sich nicht aus zwei voneinander unabhängigen Einzelzuständen zusammensetzen.*Das einzelne Qubit liefert bei einer Messung weiterhin zufällig 0 oder 1. Erst beim Vergleich beider Messergebnisse wird die feste Beziehung sichtbar.

Befindet sich in jedem Qubit bereits derselbe geheime Wert?

Bei der klassischen Mischung lautet die Antwort: ja. Vor dem Auslesen wurde bereits 00 oder 11 erzeugt.

Beim verschränkten Zustand reicht diese Vorstellung nicht aus. Wären lediglich zwei bereits feststehende, aber unbekannte Werte gespeichert, könnten die Amplituden aus 00 und 11 bei den zusätzlichen H-Gattern nicht miteinander interferieren.

Gerade die beobachtbare Interferenz zeigt, dass der gemeinsame Quantenzustand mehr enthält als unser Unwissen über einen schon feststehenden klassischen Wert.

Was geschieht bei der Messung eines Qubits?

Messen wir das erste Qubit, erhalten wir zufällig 0 oder 1.

• Messen wir beim ersten Qubit 0, ergibt eine anschließende Messung des zweiten Qubits ebenfalls 0.
• Messen wir beim ersten Qubit 1, ergibt eine anschließende Messung des zweiten Qubits ebenfalls 1. Das bedeutet nicht, dass das erste Qubit eine frei wählbare Nachricht an das zweite sendet. Wir können nicht bestimmen, ob die erste Messung 0 oder 1 liefert.

Eine Person am ersten Qubit sieht nur eine zufällige Folge:

0 1 1 0 0 1 0 ...Eine Person am zweiten Qubit sieht ebenfalls nur eine zufällige Folge. Dass beide Folgen zueinander passen, erkennen die Personen erst, wenn sie ihre Ergebnisse über einen gewöhnlichen Kommunikationsweg vergleichen.

Verschränkung überträgt keine Nachricht schneller als Licht

Die beiden Personen können ihre jeweilige Messfolge nicht steuern. Deshalb kann keine von ihnen mit den einzelnen Ergebnissen eine Nachricht codieren.

Ohne den späteren klassischen Vergleich kann keine Person an ihren lokalen Messwerten erkennen,

• ob das andere Qubit bereits gemessen wurde,
• wann es gemessen wurde,
• oder welche Messung dort gewählt wurde. Verschränkung erzeugt starke gemeinsame Beziehungen zwischen Messergebnissen. Sie stellt aber keinen überlichtschnellen Nachrichtenkanal bereit.

Wozu ist Verschränkung dann nützlich?

Verschränkung erlaubt es einem Quantenprogramm, Beziehungen zwischen mehreren Qubits direkt im gemeinsamen Quantenzustand abzubilden.

Diese Beziehungen werden unter anderem verwendet für:

• Quantenalgorithmen,
• Quantenfehlerkorrektur,
• Quantenteleportation,
• und bestimmte kryptografische Verfahren. Verschränkung allein erzeugt jedoch noch keinen Rechenvorteil. Entscheidend ist weiterhin eine passende Folge von Quantengattern, die den gemeinsamen Zustand so verändert, dass die Messung eine für das Problem nützliche Information liefert.

Mit einem Missverständnis aufräumen

Missverständnis:* Verschränkte Qubits senden sich bei der Messung augenblicklich Informationen zu.*Die Messergebnisse verschränkter Qubits können stark miteinander verbunden sein. Das einzelne Ergebnis bleibt jedoch zufällig und lässt sich nicht zum Senden einer Nachricht auswählen. Die Verbindung wird erst durch den späteren Vergleich der Messergebnisse sichtbar.

Was wir jetzt wissen

• Gleiche Messergebnisse allein beweisen noch keine Verschränkung.
• Eine klassische Mischung aus 00 und 11 kann bei einer direkten Messung genauso aussehen wie ein verschränkter Zustand.
• Zusätzliche Quantengatter können den Unterschied durch Interferenz sichtbar machen.
• Bei einem verschränkten Zustand gehört die vollständige Zustandsbeschreibung nur dem Qubit-Paar als Ganzem.
• Die einzelnen Messergebnisse bleiben zufällig.
• Verschränkung erlaubt keine Nachrichtenübertragung mit Überlichtgeschwindigkeit.
• Ein Rechenvorteil entsteht erst, wenn ein Algorithmus die Verschränkung und Interferenz für ein konkretes Problem nutzt. In Episode 6 untersuchen wir, wie eine Quantenrechnung aus vielen möglichen Messergebnissen am Ende überhaupt eine brauchbare Antwort erzeugen kann.