가격 탄력성 추정 — log-log 회귀와 instrumental variable로 가격 효과 분리

가격을 5% 올리면 매출은 얼마나 바뀌나. 운영팀과 재무팀이 매주 묻는 질문이고, 답은 가격 탄력성 한 숫자에 압축됩니다. 단순 회귀로 가격을 매출에 회귀하면 동시 인과(simultaneity)의 함정에 빠져 진짜 효과의 절반·반대 방향이 나옵니다. log-log 회귀 + instrumental variable로 가격 탄력성을 깨끗하게 분리하는 도구, 그리고 마케터가 의사결정에서 어떻게 활용할지 정리합니다. 이 시리즈의 마지막 글입니다.

1. 가격 탄력성이란

가격 탄력성(price elasticity of demand)의 한 줄 정의는 다음입니다.

$$\eta = \frac{\partial Q / Q}{\partial P / P} = \frac{\partial \ln Q}{\partial \ln P}$$

가격 1% 변화에 수요(또는 매출량) 몇 % 변화하느냐의 비율입니다. 가격을 5% 올렸을 때 수요가 7% 빠지면 탄력성 -1.4. 음수가 일반적이고(가격 올리면 수요 감소), 절댓값이 클수록 가격에 민감.

운영적 의미:

• $|\eta| > 1$ — 탄력적: 가격 인상이 매출 감소로 이어짐 (가격 동결·인하 검토)
• $|\eta| < 1$ — 비탄력적: 가격 인상이 매출 증가로 이어짐 (가격 인상 가능)
• $|\eta| = 1$ — 단위 탄력적: 매출 그대로

이 한 숫자가 가격 의사결정의 핵심 입력입니다. 카테고리·세그먼트·시즌별로 다르고, 같은 상품이라도 시간에 따라 흔들립니다.

단순 가격-매출 회귀는 수요 충격이 동시에 가격에도 영향을 줘 simultaneity bias가 생긴다. IV로 외생적 가격 변동만 골라내야 진짜 탄력성이 나온다.

📌 이 글에서 다루는 것

가격 탄력성 추정은 미시경제학·산업조직학의 표준 자리지만, 마케팅 데이터에서 실무적으로 추정하기는 까다롭습니다. log-log 회귀의 직관, simultaneity bias가 왜 일어나는지, IV로 어떻게 푸는지를 마케터 시각으로 정리합니다.

2. log-log 회귀 — 탄력성을 직접 회귀 계수로

가격 탄력성을 추정하는 가장 단순한 회귀는 log-log 회귀입니다. 양변에 자연로그를 씌워 회귀합니다.

$$\ln Q_t = \alpha + \eta\, \ln P_t + \varepsilon_t$$

이 회귀의 계수 $\eta$ 가 그대로 가격 탄력성이 됩니다. log 변환 덕분에 절대값이 아니라 비율 변화를 다루기 때문입니다.

운영 코드는 한 줄.

python