Правило симметричных потоков Н.А. Тенетко

исправлено и дополнено LaTEX

Н.А. Тенетко

---

Правило

Для бинарной последовательности (X) длины (n\ge1) партнёр (P(X)) определяется как:

[
P(X)=
\begin{cases}
R(X), & X\neq R(X),\[4pt]
I(X), & X=R(X),
\end{cases}
]

где:

• (R(X)) — зеркальное отражение (reverse),
• (I(X)) — побитовая инверсия (invert).

---

Свойства

• Инволютивность:

[
P(P(X))=X.
]

• Отсутствие неподвижных точек:

[
P(X)\neq X.
]

• Полное разбиение: множество

[
{0,1}^n
]

разбивается на

[
2^{n-1}
]

непересекающихся пар.

---

Примеры

(n=3) (4 пары):

[
000\leftrightarrow111,
\qquad
001\leftrightarrow100,
\qquad
010\leftrightarrow101,
\qquad
110\leftrightarrow011.
]

(n=4) (8 пар):

[
0000\leftrightarrow1111,
\qquad
0001\leftrightarrow1000,
\qquad
0010\leftrightarrow0100,
\qquad
0011\leftrightarrow1100,
]

[
0101\leftrightarrow1010,
\qquad
1001\leftrightarrow0110,
\qquad
1011\leftrightarrow1101,
\qquad
0111\leftrightarrow1110.
]

---

Комбинаторная структура

• Общее число пар:

[
2^{n-1}.
]

• Число статичных пар (неподвижных относительно инверсии на уровне пары):

[
S(n)=2^{\lfloor n/2\rfloor}.
]

• Число переходящих R-пар (при инверсии переходят в другую R-пару):

[
2^{n-1}-2^{\lfloor n/2\rfloor}.
]

• Число мета-пар (пар из двух переходящих R-пар):

[
\frac{2^{n-1}-2^{\lfloor n/2\rfloor}}{2}.
]

• Для соседних длин:

[
S(2k)=S(2k+1)=2^k.
]

---

Второй уровень

Для первичной пары

[
\pi={X,P(X)}
]

операция инверсии определяется как:

[
I(\pi)={I(X),I(P(X))}.
]

• I-static (палиндромы, соединённые инверсией) и R-static (непалиндромы, соединённые отражением, но неподвижные при инверсии пары) не образуют мета-пар и остаются на месте.
• Переходящие R-пары при инверсии переходят в другую R-пару, образуя мета-пару.

Граница операции:

[

I\bigl({\pi,I(\pi)}\bigr)

{\pi,I(\pi)}.
]

Повторное применение инверсии на этом уровне не создаёт нового объекта.

---