DEV Community

Nokka
Nokka

Posted on

คณิตศาสตร์ของ LLM, สมการที่ซ่อนอยู่เบื้องหลัง ChatGPT อธิบายให้คนนอกสายเข้าใจได้

#llm #mathematics #tutorial #machinelearning

คณิตศาสตร์ของ LLM, สมการที่ซ่อนอยู่เบื้องหลัง ChatGPT อธิบายให้คนนอกสายเข้าใจได้

โดย Nokka (นก-กา) | 21 สิงหาคม 2026

บทความนี้เขียนโดย AI (DeepSeek V4 Pro) ผ่าน Hermes Agent ภายใต้การควบคุมและตรวจสอบคุณภาพโดยมนุษย์, Nokka (นก-กา)

คณิตศาสตร์ของ LLM สมการที่ซ่อนอยู่เบื้องหลัง ChatGPT พร้อมสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์

เราคุยกับ ChatGPT ทุกวัน แต่มีกี่คนที่รู้ว่า "สมอง" ของมันทำงานด้วยสมการอะไร?

Kirk Borne (นักดาราศาสตร์ฟิสิกส์ PhD จาก Caltech) เพิ่งแชร์หนังสือ "The Mathematics of Large Language Models" ที่อธิบายคณิตศาสตร์เบื้องหลัง LLM แบบอ่านง่าย

บทความนี้จะพาไปดู "คณิตศาสตร์ของ LLM" แบบละเอียด, อธิบายด้วยอุปมาและตัวอย่างที่คนไม่ได้เรียนสายนี้ก็เข้าใจได้

ก่อนอื่น ทำความเข้าใจศัพท์พื้นฐาน

ก่อนลงรายละเอียด ขอปูศัพท์ 3 คำ:

LLM (Large Language Model), โมเดล AI ที่ "เรียนรู้ภาษา" จากข้อมูลมหาศาล แล้วทำนายคำถัดไป

Transformer, สถาปัตยกรรมที่อยู่เบื้องหลัง LLM ทุกตัว (GPT, Claude, Gemini) ใช้กลไก "attention"

Attention, กลไกที่ให้โมเดล "เลือกสนใจ" คำที่สำคัญในประโยค (เหมือนคนอ่านแล้วโฟกัสคำสำคัญ)

4 สาขาคณิตศาสตร์ที่ซ่อนอยู่ (อธิบายละเอียด)

1. Linear Algebra, คำกลายเป็น "ตัวเลข"

แนวคิด: คอมพิวเตอร์ไม่เข้าใจ "คำ", มันเข้าใจแค่ "ตัวเลข" ดังนั้นทุกคำต้องถูกแปลงเป็น "เวกเตอร์" (ชุดตัวเลข)

ตัวอย่างที่โด่งดังที่สุด [1]:

king - man + woman ≈ queen
Enter fullscreen mode Exit fullscreen mode

แปลว่า: ถ้าเอาเวกเตอร์ของ "king" ลบ "man" บวก "woman", ผลลัพธ์จะใกล้เคียงกับเวกเตอร์ของ "queen"

อุปมา: เหมือนการวางคำทุกคำลงบน "แผนที่ความหมาย", คำที่ความหมายใกล้กันจะอยู่ใกล้กันบนแผนที่ (เช่น "แมว" กับ "หมา" อยู่ใกล้กัน ส่วน "แมว" กับ "รถยนต์" อยู่ไกลกัน)

ทำไมสำคัญ: เพราะเมื่อคำเป็นตัวเลขแล้ว โมเดลถึงจะ "คำนวณ" ความสัมพันธ์ระหว่างคำได้

2. Probability, LLM ไม่ได้ "รู้" แต่มัน "เดา"

แนวคิด: LLM ไม่ได้ "รู้คำตอบ", มันคำนวณ "ความน่าจะเป็นของคำถัดไป" แล้วเลือกคำที่มีโอกาสสูงสุด

ตัวอย่าง: เมื่อคุณพิมพ์ "ท้องฟ้าวันนี้เป็นสี..." โมเดลคำนวณว่า:

  • "ฟ้า" มีโอกาส 85%
  • "แดง" มีโอกาส 3%
  • "เขียว" มีโอกาส 1%

แล้วเลือก "ฟ้า" เพราะโอกาสสูงสุด

อุปมา: เหมือนคนที่อ่านนิยายแล้วเดา "คำถัดไป", ไม่ได้รู้ล่วงหน้า แต่เดาจากบริบทที่เห็น

ทำไมสำคัญ: นี่คือเหตุผลที่ LLM "มั่ว" ได้, เพราะมันเดาจากความน่าจะเป็น ไม่ใช่ "รู้ความจริง"

3. Calculus, โมเดล "เรียนรู้" ยังไง

แนวคิด: Gradient descent คือวิธีที่โมเดล "เรียนรู้" โดยค่อยๆ ปรับน้ำหนักให้ "ผิดน้อยลง" ทีละนิด

อุปมาที่ใช้กันแพร่หลาย [2]:

"Imagine a blindfolded man who wants to reach the bottom of a hill. He can't see, but he can feel which direction is downhill. So he takes small steps, always moving downhill, until he reaches the bottom."

คนตาบอดเดินลงเขา, รู้สึกว่าทิศไหน "ชันลง" แล้วก้าวไปทางนั้นทีละนิด จนถึงจุดต่ำสุด

ทำไมสำคัญ: นี่คือ "หัวใจของการเรียนรู้" ของ AI, ทุกครั้งที่โมเดลตอบผิด มันจะ "ปรับ" ตัวเองให้ตอบถูกขึ้นในครั้งหน้า

4. Information Theory, วัด "ความไม่แน่นอน"

แนวคิด: Entropy วัดว่า "ภาษาไม่แน่นอนแค่ไหน" [3]

ตัวอย่าง:

  • "วันนี้คือวัน..." → ไม่แน่นอนสูง (จันทร์/อังคาร/พุธ... มีหลายคำตอบ)
  • "หนึ่งบวกหนึ่งเท่ากับ..." → ไม่แน่นอนต่ำ (เกือบแน่นอนว่า "สอง")

อุปมา: เหมือนการเดาคำในเกม Hangman, บางตำแหน่งเดาง่าย (แน่นอน) บางตำแหน่งเดายาก (ไม่แน่นอน)

ทำไมสำคัญ: Entropy บอกว่า "โมเดลต้องใช้ข้อมูลแค่ไหน" ในการทำนาย, และ cross-entropy วัดว่า "โมเดลเดาเก่งแค่ไหน"

สมการสำคัญ 3 ตัว (อธิบายละเอียด)

1. Softmax, เปลี่ยนตัวเลขเป็น "ความน่าจะเป็น" 

softmax(x_i) = e^(x_i) / Σ e^(x_j)
Enter fullscreen mode Exit fullscreen mode

ทำอะไร: เปลี่ยน "คะแนนดิบ" ของแต่ละคำ ให้เป็น "ความน่าจะเป็น" ที่รวมกันได้ 1 พอดี

ทำไมต้องรวมกันได้ 1: เพราะโมเดลต้อง "ตัดสินใจ" ว่า "ในบรรดาคำทั้งหมด ควรสนใจคำไหนเท่าไหร่" [4]

อุปมา: เหมือนการแบ่งเค้ก 1 ก้อนให้หลายคน, softmax ทำให้ทุกชิ้นรวมกันเป็นเค้ก 1 ก้อนพอดี ไม่เกิน ไม่ขาด

ตัวอย่างจริง: ถ้าโมเดลให้คะแนน "ฟ้า=5, แดง=2, เขียว=1" softmax จะแปลงเป็น "ฟ้า=85%, แดง=12%, เขียว=3%" (รวมกัน 100%)

2. Attention, เลือกสนใจคำสำคัญ 

Attention(Q,K,V) = softmax(QK^T / √d_k) V
Enter fullscreen mode Exit fullscreen mode

ทำอะไร: ให้โมเดล "โฟกัส" คำที่เกี่ยวข้องกับคำปัจจุบัน

ตัวอย่าง: ในประโยค "แมวไล่หนู เพราะมันหิว", คำว่า "มัน" หมายถึง "แมว" (ไม่ใช่ "หนู") โมเดลต้อง "รู้" ว่าคำไหนเกี่ยวข้อง

อุปมา: เหมือนคนอ่านหนังสือแล้ว "ไฮไลต์" คำสำคัญ, attention คือการที่โมเดล "ไฮไลต์" ว่าคำไหนสำคัญต่อการเข้าใจคำปัจจุบัน

ทำไมสำคัญ: นี่คือ "หัวใจของ Transformer", กลไกที่ทำให้ LLM เข้าใจ "บริบท" ได้ดีกว่าโมเดลรุ่นก่อน

3. Gradient Descent, วิธีเรียนรู้ 

θ_new = θ_old - η ∇L(θ)
Enter fullscreen mode Exit fullscreen mode

ทำอะไร: ปรับน้ำหนักโมเดลทีละนิด ให้ "ผิดน้อยลง" ทุกครั้ง

อุปมา: คนตาบอดเดินลงเขา (จากหัวข้อ Calculus), ก้าวทีละนิด ไปทางที่ "ชันลง" ที่สุด จนถึงจุดต่ำสุด

ตัวแปรสำคัญ:

  • η (learning rate) = "ขนาดก้าว", ก้าวใหญ่ไปอาจ "เลย" จุดต่ำสุด ก้าวเล็กไปก็ช้า
  • ∇L(θ) (gradient) = "ทิศทางที่ชันลงที่สุด"

ทำไมสำคัญ: นี่คือ "วิธีที่ AI เรียนรู้", ทุกครั้งที่ตอบผิด มันจะปรับตัวเองให้ตอบถูกขึ้น

ตารางสรุป: สมการ 3 ตัวที่ซ่อนอยู่ใน LLM

สมการ ทำอะไร อุปมา
Softmax เปลี่ยนคะแนนเป็นความน่าจะเป็น แบ่งเค้กให้รวมเป็น 1 ก้อน
Attention เลือกสนใจคำสำคัญ ไฮไลต์คำสำคัญในหนังสือ
Gradient Descent ปรับน้ำหนักให้ผิดน้อยลง คนตาบอดเดินลงเขา

เชื่อมกับซีรีย์ "สมการเก่า → AI เปลี่ยนโลก"

นี่คือจุดที่ผมอยากเน้น, คณิตศาสตร์ของ LLM ไม่ได้เกิดใหม่ แต่มันต่อยอดจากสมการเก่าแก่ที่ผมเคยเขียนถึง:

1. Bayes' Theorem (250 ปี) → Probability ของ LLM

Bayes' Theorem คือรากฐานของ "ความน่าจะเป็น" ที่ LLM ใช้ทำนายคำถัดไป

LLM ทำนายคำถัดไป = อัปเดตความเชื่อ (Bayes) จากบริบทที่เห็น

2. Markov Chain (100 ปี) → การทำนายลำดับ

Markov Chain คือแนวคิด "คำถัดไปขึ้นกับคำก่อนหน้า", ซึ่งเป็นหลักการเดียวกับ LLM (แค่ LLM ใช้ attention แทน Markov แบบง่าย)

LLM = Markov Chain ที่ฉลาดขึ้น (มองบริบททั้งหมด ไม่ได้มีเพียงคำก่อนหน้า)

3. Riemann Hypothesis (160 ปี) → ขอบเขตของสิ่งที่ AI ทำได้

Riemann Hypothesis เตือนเราว่า AI ไม่ได้ "แก้โจทย์" ทุกอย่าง, มัน "ก้าวหน้า" ในโจทย์ แต่ยังมีขอบเขต

คณิตศาสตร์ของ LLM อธิบาย "กลไก" แต่ Riemann เตือนว่า "ความเข้าใจ" ยังมีขีดจำกัด

มุมวิเคราะห์: ทำไมการเข้าใจคณิตศาสตร์ถึงสำคัญ

ผมคิดว่าการเข้าใจคณิตศาสตร์ของ LLM สำคัญกว่า "ใช้เป็น" 3 อย่าง:

1. "ใช้เป็น" กับ "เข้าใจ" ต่างกัน

ใช้ ChatGPT เป็น = รู้ว่ากดปุ่มไหนได้คำตอบ
เข้าใจคณิตศาสตร์ = รู้ว่า "ทำไม" มันตอบแบบนี้ และ "เมื่อไหร่" มันจะผิด

2. คณิตศาสตร์อธิบาย "ข้อจำกัด"

LLM ไม่ได้ "คิด", มัน "คำนวณความน่าจะเป็น" การเข้าใจ softmax + attention ทำให้รู้ว่า LLM เก่งอะไร และพลาดอะไร

3. "โครงสร้างทางคณิตศาสตร์" คือสิ่งที่อธิบาย deep learning จริงๆ

จากหนังสือ [5]:

"Mathematical structure is what actually explains deep learning. Not scale. Not intuition."

ไม่ใช่ "โมเดลใหญ่" หรือ "สัญชาตญาณ", แต่เป็น "โครงสร้างทางคณิตศาสตร์" ที่อธิบายว่า deep learning ทำงานยังไง

มุมสมดุล: ต้องพูดตรงๆ

ก่อนจบ ขอพูดตรงๆ ว่า:

  1. ไม่ต้องรู้คณิตศาสตร์ก็ใช้ LLM ได้, เหมือนขับรถไม่ต้องรู้เครื่องยนต์
  2. คณิตศาสตร์ของ LLM ยังไม่สมบูรณ์, งานวิจัยล่าสุด (arxiv 2510.03989) ยังพยายามหา "ทฤษฎีคณิตศาสตร์ที่สมบูรณ์" ของ Transformer อยู่
  3. หนังสือเป็นแค่ "จุดเริ่มต้น", อ่านแล้วเข้าใจภาพรวม แต่ไม่ใช่ทั้งหมด

แต่หลักการชัดเจน: การเข้าใจ "สมการที่ซ่อนอยู่" ทำให้คุณใช้ AI อย่างมีวิจารณญาณ แทนที่จะเชื่อทุกอย่างที่มันตอบ

สรุป

คณิตศาสตร์ของ LLM ประกอบด้วย 4 สาขา:

  1. Linear Algebra, คำเป็นเวกเตอร์ (king - man + woman ≈ queen)
  2. Probability, ทำนายคำถัดไป (เดา ไม่ใช่รู้)
  3. Calculus, gradient descent เรียนรู้ (คนตาบอดเดินลงเขา)
  4. Information Theory, วัดความไม่แน่นอน (entropy)

สมการสำคัญ 3 ตัว: Softmax (แบ่งเค้ก), Attention (ไฮไลต์คำ), Gradient Descent (เดินลงเขา)

และมันต่อยอดจากสมการเก่าที่ผมเคยเขียนถึง:

  • Bayes' Theorem → Probability
  • Markov Chain → การทำนายลำดับ
  • Riemann Hypothesis → ขอบเขตของ AI

บทเรียนสำคัญ: "ใช้ AI เป็น" กับ "เข้าใจ AI" ต่างกัน, และการเข้าใจคณิตศาสตร์ที่ซ่อนอยู่ คือสิ่งที่แยก "ผู้ใช้" ออกจาก "ผู้ที่ควบคุม AI ได้จริง"

แหล่งอ้างอิง

[1] "Analogies Explained: Towards Understanding Word Embeddings". arXiv:1901.09813. https://arxiv.org/pdf/1901.09813

[2] Kaggle. "Gradient Descent Algorithm - Introduction with Hill Climber Example". https://www.kaggle.com/getting-started/339772

[3] Wayland Zhang. "Information Theory Is All You Need (to Understand LLMs)". https://waylandz.com/blog/information-theory-and-llm/

[4] Reddit r/learnmachinelearning. "Why Softmax for Attention?". https://www.reddit.com/r/learnmachinelearning/comments/1j1nq6r/

[5] Jason Karpeles. "The Mathematics of Large Language Models". Amazon. https://www.amazon.com/Mathematics-Large-Language-Models-Transformers-ebook/dp/B0H44K1ZR5

[6] Jason Karpeles. "The Mathematics of Large Language Models: A Readable Guide to LLMs, Transformers, and Diffusion". Amazon. 2026. https://www.amazon.com/Mathematics-Large-Language-Models-Transformers-ebook/dp/B0H44K1ZR5

บทความนี้วิเคราะห์จากหนังสือของ Jason Karpeles, arXiv, IBM และโพสต์ X ของ Kirk Borne ข้อมูล ณ 21 สิงหาคม 2026 Nokka

ผมเขียนบทความนี้เพราะเห็นว่า "คณิตศาสตร์ของ LLM" เป็นหัวข้อที่เชื่อมกับซีรีย์ "สมการเก่า → AI เปลี่ยนโลก" ที่ผมเขียนไว้ (Bayes, Markov, Riemann) จุดที่ผมอยากให้คุณได้คือ "ใช้ AI เป็น กับ เข้าใจ AI ต่างกัน" เพราะการเข้าใจสมการที่ซ่อนอยู่คือสิ่งที่แยกผู้ใช้จากผู้ควบคุม

ลองตอบคำถามนี้ดู: คุณเคยอยากเข้าใจ "สมอง" ของ ChatGPT ว่าทำงานยังไงไหม? และคุณคิดว่าการเข้าใจคณิตศาสตร์ช่วยให้ใช้ AI ดีขึ้นจริงหรือเปล่า? คอมเมนต์บอกผมได้เลยครับ

Top comments (0)