Mr. Aecroid’s Tables: Economic Calculations and Social Customs in the Early Modern Countryside

William Deringer (Massachusetts Institute of Technology)
The Journal of Modern History, Volume 96, Number 1, 2024
DOI: https://doi.org/10.1086/728594

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這篇論文在講什麼故事

• 1610 到 1620 年代，英格蘭接連出版了一批滿是數字的「折現表」，包括 Witt（1613）、Clay（1619）、Webster（1625）、Acroyd（1628）等人的作品。傳統解釋認為，這是資本主義理性興起、精明地主追求利潤最大化的工具。
• Deringer 追查其中最神祕的一本，也就是劍橋三一學院財務長 Ambrose Acroyd 匿名出版的租約表。他發現這本表主要用來計算農地租約的「權利金」（fine），最早的大宗用戶則是英格蘭國教會的主教、座堂與學院。
• 教會地主的處境很特殊：不能抬高地租，受到道德監督，內部官員又各有私利。把權利金綁進公開的計算規則，對外可以向佃戶與法院證明收費「合理」，對內可以約束自家官員。作者稱之為「社會調適技術」（technologies of social accommodation）。
• 這套表後來固化成「合成習俗」（synthetic custom）。到了 18 世紀，法定利率早已降到 5%，教會的表格仍然使用 11% 以上的利率。教會想調高權利金時，反而被佃戶和議會輿論擋下，教會租約最後成了貴族與議員爭搶的投資標的。
• 作者把這段歷史視為「演算法公平」的早期篇章，並在結尾提醒：被計算出來的公平，往往是一部分利害關係人之間的共謀，被排除在方程式之外的人沒有發言權。

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一、論文速寫

項目	內容
主角	Ambrose Acroyd 匿名出版的《Tables of Leasses and Interest》（1628），後世稱「Mr. Æcroid's Tables」
三個問題	早期折現表怎麼用？誰在用？為什麼偏偏在那個時刻有用？
核心主張	折現表在當時的角色是社會調適技術，不是工具理性的利潤極大化器。計算補足了習俗，沒有取代習俗
證據類型	現存 11 本的收藏分布與手寫增補、Durham 座堂檔案、各教區與學院的財務改革、18 世紀論戰小冊，以及與 Wiltshire 俗世莊園的對照

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二、先補課：折現、年金與「年購價」

讀這篇論文需要三個概念。

貨幣單位：1 英鎊（£）等於 20 先令（s），也等於 240 便士（d）。

現值與年金：未來一筆錢 F，在利率 i 下折算成今天的價值是：

$$PV=\frac{F}{(1+i)^{n}}=F\,v^{n},\qquad v=\frac{1}{1+i}$$

每年年末收 1 單位、共收 n 年的年金，現值為：

$$a_{n}=\sum_{t=1}^{n}v^{t}=\frac{1-v^{n}}{i}$$

年購價（years' purchase, YP）：當時人不習慣直接講利率，而是把價格說成「年收益的幾倍」。永續收益的年購價等於 1/i，所以 20 年購價約等於 5% 的報酬率。

我們可以用論文中引用的 Thomas Clay 表格驗算一下。利率 10%，20 年後的 £1 今天值多少？

$$\frac{1}{1.1^{20}}\approx 0.14864\ \pounds \approx 2\text{s}\ 11\tfrac{3}{4}\text{d}$$

每年 £1、連續 20 年的年金現值：

$$a_{20}\Big|_{i=10\%}=\frac{1-1.1^{-20}}{0.1}\approx 8.5136\ \pounds\approx \pounds 8\ 10\text{s}\ 3\tfrac14\text{d}$$

兩個數字都和 Clay 書上一致。

租約為什麼會變成年金？ 16 世紀許多農地採「低固定租金加高額一次性權利金」的模式。佃戶先付一大筆權利金，換來往後每年的「淨值」（net value 或 clear rent，也就是年產值扣掉古租與固定支出）。在這種安排下，權利金就等於這串淨值的現值：

$$\text{Fine}=NV\times a_{n},\qquad NV=Y-R_{0}-C$$

其中 Y 是年產值，R₀ 是古租，C 是固定支出。

注意：本文的「fine」不是罰款，而是取得或續訂租約時一次付清的「權利金」，下文分別稱為入租金與續約金。

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三、Acroyd 的書到底在算什麼？

3.1 全書結構

這本書是八開本，不到一百頁，沒有作者署名，也幾乎沒有說明文字。

系列	表號	內容	利率	是否獨創
第一系列	i	21 年期租約「補滿」	19/170 ≈ 11.18%（全期約等於 8 年購價）	獨創
	ii	同上，20 年期	19/170	獨創
	iii	年金現值	8%	當時常見
	iiii	年金終值	8%	當時常見
	v	單筆複利成長	8%	當時常見
第二系列	1、2	同 i、ii	9/68 ≈ 13.24%（全期等於 7 年購價）	獨創
	3–5	同 iii–v	10%	當時常見

別的表書通常從複利表或年金表開始，Acroyd 卻把最冷僻、最專門的表放在最前面。這個安排暗示他心中有一個非常具體的使用場景。

3.2 表 i 的數學

表 i 處理的情境是：一張 21 年租約已經過了 k 年，還剩 21−k 年，承租人想把它補滿回 21 年。補回來的那 k 年收益，要等剩下的 21−k 年過完才拿得到（原文說的 in reversion），所以要再多折現 21−k 年：

$$F(n,k)=\sum_{t=n-k+1}^{n}v^{t}=v^{\,n-k}\,a_{k}=a_{n}-a_{n-k}$$

我用 n = 21、i = 19/170 重算論文提到的四個數字，以每年淨值 £1 為單位：

已過年數 k	公式值（£）	換算	論文所載
1	0.1081	2s 2d	2s 2d
2	0.2282	4s 7d	4s 7d
14	3.2949	£3 5s 11d	£3 5s 11d
21	7.9804	£7 19s 7d	£7 19s 7d

四個數字全部吻合。這也反推出 Acroyd 的假設是「每年年末收款」。

3.3 為什麼用 19/170 這麼怪的利率？

Acroyd 不是先選利率再算價格，順序剛好相反。他先接受實務上已經存在的行情，也就是「21 年租約值 8 年購價」或「值 7 年購價」，再反推出能符合這個行情的利率：

$$a_{21}\Big|{i=19/170}\approx 7.980,\qquad a{21}\Big|_{i=9/68}\approx 7.000$$

9/68 的近似幾乎完美，19/170 則差了一點，論文註腳也承認這一點。利率寫成分數，是因為要用對數表把 189/170 自乘到 21 次方。這正好連到三一學院所在的數學圈：Henry Briggs 的常用對數表在 1617 到 1624 年間陸續出版。

3.4 利率的選擇就是分配的選擇

下表是我依同一公式算出的對照。「滿 7 年續約金」指 21 年租約過了 7 年後補回 7 年，要付幾年的淨值：

利率	情境	21 年全期價值（年購價）	滿 7 年續約金（年淨值倍數）
5%	1714 年後的法定上限	12.82	2.92
6%	1719 年 Manningham 主教的建議	11.76	2.47
8%	1624 年後的法定上限	10.02	1.77
10%	1624 年前的法定上限	8.65	1.28
≈10.2%	1720 年代調升後的「1¼」	≈8.55	1.25
≈11.18%	Acroyd 表 i（19/170）	7.98	1.06
≈11.6%	Durham 1626 年法令（7¾ 與 1）	7.75	0.99
≈13.24%	Acroyd 表 1（9/68）	7.00	0.77

利率越高，算出來的權利金越低，對佃戶越有利。當時多數表書採用法定最高利率，因為這樣最不會惹上高利貸官司。Acroyd 刻意偏離這個標準，這個選擇本身就是一種立場。

英格蘭高利貸法上限的演變如下：

年份	法令	上限
1545	亨利八世法令	10%
1552	愛德華六世法令	全面禁止收息
1571	伊莉莎白一世法令	恢復 10%
1624	詹姆斯一世法令	8%
1660	查理二世法令（共和時期已先降）	6%
1714	安妮女王法令	5%
1854	高利貸法廢止	無上限

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四、作者要推翻的「標準故事」

Deringer 把過去研究折現史的學者分成三群：

學派	代表	看法	作者指出的盲點
技術史（會計、精算）	Lewin、Parker、Poitras	編目並解碼早期技術，把它們看成現代最佳實務的前身	用今天的用途回推過去，看不見當時的特定用法
新制度經濟史	Goetzmann、Rouwenhorst	金融創新促成資本市場，進而促成經濟成長	歷史觀以現在為導向
資本主義批判史	Eli Cook（investmentality）	折現是資本主義興起的指標，代表 17 世紀地主把封建習俗理性化	雖然主張理性是歷史產物，仍預設工具理性

三派的共同前提是：新的計算技術之所以流行，是因為精明的使用者發現它能幫自己做出更有利的決策。

作者用三條證據線挑戰這個前提：

1. 量化有它的社會性。Carruthers 與 Espeland（1991）指出，複式簿記的流行主要是靠它的象徵意義，也就是展示商人的紀律與可信度，技術優勢反而是次要的。Porter、Daston 對科學中「精確性」的研究，MacKenzie 與 Spears 對高斯 copula 的研究，Zaloom 對殖利率曲線的研究，都指向同一個方向。
2. 「義務經濟」。Muldrew 指出，近代早期英格蘭的經濟生活建立在人際信用與名譽上，當時人追求的是公正與互惠，不是個人偏好的計算。Finkelstein 與 Slack 也持類似看法。如果是這樣，精密計算為什麼會在這種環境中出現？
3. 土地優先。Bellhouse（2017）指出，早期折現表最主要的用途就是計算農地租約的權利金。所以折現並不是先在城市金融圈發展，之後才傳到鄉村。

作者的三個問題與答案如下：

問題	答案
怎麼用？	計算多年期農地租約的入租金與續約金
誰在用？	關鍵的早期採用者是國教會：主教、座堂聖職團與牛津、劍橋各學院
為何在那時有用？	價格革命讓權利金成為衝突焦點。「合理」的權利金必須有說法，而規則在一輪輪的談判與訴訟中變得越來越數學化

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五、背景：價格革命、固定古租與權利金

5.1 一場持續百年的通膨

依 Phelps Brown 與 Hopkins 的物價指數，以 1501–10 年為基準 1.0：

年代	英格蘭食品價格
1501–10	1.0
1551–60	3.0
1601–10	5.0
1651–60	6.5

15 世紀的物價持平，甚至略為下跌。中世紀的習俗是為一個「明年和今年一樣」的世界設計的。價格革命帶來一個系統性不同於現在的未來，這正是折現數學所要處理的時間觀。

5.2 土地保有形式

形式	內容
謄本保有（copyhold）	佃戶終身占有並可傳給繼承人，條件是繳納固定租金並履行習俗義務
租賃保有（leasehold）	依契約占有一定年數，或以一人到數人的壽命為期
佃戶權（tenant-right）	北方邊境的習俗：占有穩固、繼承有保障、租金低、權利金少，代價是要服邊防兵役
古租（ancient rent）	早年登錄在莊園租冊上的名目租金，依習俗不得更動

5.3 權利金的變質

• 傳統上，權利金大約等於一年租金，而且一二十年才付一次。
• 習俗的約束主要壓在租金上，對權利金比較寬鬆。許多莊園的權利金是「不確定的」（uncertain fines），理論上地主可以隨意開價。
• 16 世紀中期以後，地主大幅拉高權利金。經濟史研究顯示，地主總收入跟上甚至超過了通膨，增加的部分主要來自權利金。
• 到 17 世紀初，許多地產改採「受益租賃」（beneficial leasing）：租金很低，佃戶的大部分負擔集中在期初的權利金。
• 土地調查專業化以後，「價值」（value，指預期的農業收益）成了計算權利金的新基礎。

到這一步，租約在數學上已經等同於年金，折現表自然派得上用場。

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六、為什麼是教會？

面向	俗世地主	教會地主
抬高地租	可以按市價收租、圈地、改作牧場、採礦、出售土地	學者形容按市價收租幾乎「不可想像」；教會也缺乏直接經營莊園的人力
道德期待	有壓力，但較小	被期待當模範地主；清教徒抨擊主教制，任何貪財跡象都會引發強烈反彈
政治干預	較少	王室介入。伊莉莎白一世常用教會長租約酬庸廷臣；1559、1571、1576 年的法律限制教會租約不得超過 21 年或三代人
稅負	一般	1535 年起，新任神職人員須上繳第一年收入（first fruits），另有慈善與款待義務
個人與機構	土地屬於家族	宗教改革後神職人員可以結婚，卻不擁有土地。要為家人存錢，個人利益和機構利益於是衝突

在這些限制下，權利金對教會官員特別有吸引力：

• 權利金有調整空間，租金沒有。
• 權利金不必繳 first fruits 等稅。
• 1600 年以前，權利金通常不列入機構帳冊，而被視為主教、座堂主任牧師、受俸牧師或學院院士的個人收入。

這最後一點正是問題所在：拉高權利金等於讓官員直接中飽私囊。

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七、Durham 個案：衝突與妥協的六個階段

作者重建的 Durham 座堂權利金制度演變：

階段	時間	做法	權利金如何決定
1 習俗	1548 年以前	權利金低，只是次要收入	依習俗，例如續約付 1 年租金
2 投機與脅迫	1548–1577	利用權利金生財：先發租約（reversionary lease）、驅逐佃戶、抽籤分配租約權；權利金歸官員個人	討價還價、脅迫
3 形式化	1577–1603	衝突導致 1577 年和解，確立正式規則與「合理性」標準	21 年續約付 3 到 4 年租金
4 可續約	1603–1626	鼓勵提早續約，金額較小但次數較多；開始做土地調查，推動以價值計算	滿 7 年續約付 2⅓ 年租金
5 公式化與價值基礎	1626–約 1650	1626 年的座堂法令以調查價值取代租金	滿 7 年續約付 1 年淨值；新租約付 7¾ 年淨值
6 精密計算	Durham 約 1650 年後；劍橋從 1628 年起	接近連續續約，權利金精確計算	Acroyd 表

關鍵事件：

• 1548 年起：受俸牧師把已有人耕種的土地，預先租給親友或自己（reversionary lease），等現任佃戶死後土地就歸新承租人。真正驅逐的情況不多，但佃戶常被迫付出約十倍年租的權利金，才能把農場留在家族手中。
• 1564 年的抽籤制度：座堂土地的租約權用抽籤分給主任牧師與受俸牧師。1564 到 1576 年間發出百餘張新租約，權利金收入超過 £3,700，主任牧師 Whittingham 一人就分到近 £900。
• 1575 到 1577 年：佃戶 Roland Seamer 帶頭，與上百名佃戶向樞密院和女王請願。案子轉到北方議會，議長 Huntingdon 伯爵在 1577 年裁決：法律上不承認佃戶權，但要求溫和對待佃戶、讓被逐佃戶以合理條件回到農場，並確立權利金必須通過「合理性」檢驗。
• 1608 年：佃戶 William Emerson 一向以 £7 續約，這次卻被要求付 £100 到 120，顯示座堂又開始用強硬手段。
• 1610 年代：受俸牧師 Marmaduke Blakiston 推動「每 7 年提早續約一次，付 2⅓ 年租金」。
• 1620 年：詹姆斯一世廢除邊境地區的佃戶權，佃戶失去依靠，座堂取得新的談判籌碼。
• 1626 年：新的交換條件成立。佃戶得到可以無限期續約、可以傳給子孫的事實保障；座堂得到以價值計算權利金的權力。

1626 年那個「7¾」並不是隨手寫的數字。用年金公式反推：如果 21 年新租約值 7¾ 年淨值，隱含利率約 11.6%。在同一利率下，滿 7 年後補回 7 年的續約金約為 0.99 年淨值，恰好就是法令裡的「1 年」。

$$a_{21}\Big|{i\approx 11.6\%}\approx 7.75,\qquad v^{14}a{7}\Big|_{i\approx 11.6\%}\approx 0.99$$

所以 Durham 的法令在數學上是自洽的。作者推斷當時的官員懂一點折現數學，我的重算支持這個推斷。

1626 年以後，Merrington 教區的平均續約間隔，從 1600–1610 年的 15.4 年縮短為 1632–1642 年的 8.3 年。Jean Morrin 把這種結果形容為一種有意的「連續承租政策」。

作者從 Durham 得出的三個結論：

1. 嚴格公式是多方衝突與相互妥協循環出來的結果，不是某一方理性計算後單方面設計的。
2. 計算並不是市場力量入侵習俗的表現。每次規則細化，都讓原佃戶留在土地上，不必和願意出市價的外人競爭。借用 Polanyi 的說法，這是一種「反向運動」。
3. 正因為教會是相對弱勢的地主，才願意被規則綁住。這些規則對外向佃戶展示公平，對內約束牧師，兩種功能結合起來，就是 Porter 所說「機械客觀性」的早期案例。

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八、從 Canterbury 到 Trinity：全國性的財務改革

機構或人物	改革
牛津大學學院	1572–73 年起把權利金單獨列帳
Canterbury 大主教 Whitgift 與總管 John Boys	1584 到 1600 年發出 105 張較短期的新租約，是 1560–75 年的八倍；推動至少每 7 年續約一次
反對者	覬覦教會租約的俗世地主、商人與政客，在 1576 年和 1600–01 年兩度提案禁止教會提早續約，都沒有成功
Coventry 與 Lichfield 教區、Chester 教區	1610 到 1623 年間做土地調查；1619 年新任 Chester 主教發現教區幾乎沒有地產紀錄，下令建檔
劍橋聖約翰學院、牛津女王學院	1627、1628 年訂定權利金管理規則；女王學院規定三分之二的權利金收入歸機構
Neile 與 Durham House 派系	偏向 Arminius 神學的神職網絡，把強化教會財務當成對抗清教徒的手段；Neile 在 1617 到 1628 年任 Durham 主教
劍橋三一學院	前任院長 Nevile 的建築工程到 1621 年累積 £4,280 債務；1621 到 1637 年學院收入成長 80%，速度是小麥價格的兩倍；1630 年首次分紅。Acroyd 在 1622 到 1625 年任首席財務長

Canterbury 制度的價值，Felicity Heal 認為主要在於它拉近了領主與佃戶的關係，收入增加倒在其次。換句話說，這是教會地主和佃戶聯手對付外部覬覦者的一種共謀。

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九、把 Acroyd 的表放回脈絡

Acroyd 的表比較像是對既有規則的漸進升級，談不上橫空出世的發明。在他之前，已經有好幾種「整數規則」：

規則	內容
Durham 1570 年代	21 年續約付 3 到 4 年租金
Durham 1610 年代	滿 7 年續約付 2⅓ 年租金
Durham 1626 年	滿 7 年續約付 1 年淨值，新租約付 7¾ 年淨值
坊間通說（Acroyd 引述）	21 年租約值 7 年購價，三個 7 年分別值 4、2、1 年

Acroyd 認為坊間通說有誤，低估了前段、高估了後段。用他表 1 的利率（9/68）重算：

租約區段	坊間通說	依 9/68 重算
最近的 7 年	4	4.39
中間的 7 年	2	1.84
最遠的 7 年	1	0.77
合計	7	7.00

這正是他在說明中指出的偏差。Acroyd 表的優勢在於可以處理「任何一年」的續約。佃戶因此有更多選擇時機，急需現金的地主也可以在不規則的時點鼓勵佃戶續約。

卷首的拉丁題詞：許多冊在開頭裝訂了一首四聯對句的拉丁詩，來源不明。我依作者的英譯意譯如下：

欺詐常常困擾我們，而算術之法教人何者有益、何者公正。天性教人行騙，或許要靠技藝來防範欺詐。讓好爭吵的人群去抗議吧。買方、賣方，來查表吧，這是明智之舉。

在租約衝突中，兩邊都可能犯下「欺詐」（fraus）。地主可能開出天價權利金，或用先發租約脅迫佃戶。佃戶可能隱瞞土地的真實價值，或用不合理的習俗主張拒絕地主應得的部分。題詞把算術定位成抵禦雙方欺詐的仲裁者。

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十、計算變成習俗：1710 到 1730 年代的攻防

擴散：Acroyd 表與後繼的同類書在 17 世紀逐步滲入國教會體系，可能的推力有三個：

• 神職人員多出身牛津、劍橋，升遷時在各地流動，把學院的做法帶出去。
• Neile 與 Laud 由上而下統一行政程序，Laud 在 1629 到 1634 年間對各主教下達一系列財務指令。
• 內戰時期的影響：1646 年廢除主教制，教會財產被調查估價準備出售；1660 年復辟後物歸原主，手邊有現成的估價資料，又必須重訂租約。

經濟史家 Christopher Clay 指出，1660 年以後，幾乎每個教會與學院地主都有一張固定的年購價表，用來決定各種期限的新租與續約權利金。

手寫增補是最有說服力的使用痕跡：

藏本	手寫增補	意義
牛津 Balliol 學院	10 年期續約表，沿用 11.2%	把原表延伸到更短的租期
Lambeth Palace 圖書館	40 年期續約表，利率約 9.3%	把原表延伸到更長的租期
Canterbury 座堂	一張 10×10 的九九乘法表	使用者的算術程度不高，表格已經嵌入例行公事

固化的代價：到 1714 年，法定利率已降到 5%，教會表格仍然使用 11% 以上的利率。1719 年，Chichester 主教 Thomas Manningham 指出教會收的權利金只有應收的一半左右；以 6% 計算，滿 7 年續約金應約為 2.5 年淨值。前面的表格算出 2.47，與他的說法吻合。

結局：

• 1720 年代，多個座堂與學院把標準續約金從約 1 年淨值調到 1¼ 年，隱含利率仍在 10% 以上。
• 1731 年，衡平法院主事官 Samuel Burroughs 以筆名「Everard Fleetwood」出版小冊，主張教會只是公眾財產的暫時管理人，並主張這些才一百年左右的表格做法已經取得「習俗」的神聖地位。
• 佃戶一方想立法約束教會沒有成功，但實質上贏了。Canterbury 曾嘗試調到 1½，1727 年又退回 1¼，這個標準一路沿用到 19 世紀。
• 到 1660 年，英格蘭東部與中南部的俗世地產幾乎都已改採按市價收租，教會地產是例外。教會佃戶因此成了「鄉村菁英」，教會租約更成為貴族與國會議員眼中最划算的投資之一。

作者的總結很有力：對最熱衷的早期採用者來說，折現技術不但沒有幫他們把經濟利益最大化，反而有系統地阻止他們這麼做。

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十一、對照組：俗世莊園與其他表格作者

11.1 Wiltshire：討價還價，不查表

Eric Kerridge 研究 1540 到 1640 年的 Wiltshire，找到一筆典型的往返：1632 年，佃戶 Chandler 為一座農場出價 £500，地主 Thynne 開價 £750；接著佃戶逐步加到 £530、£540、£550，地主降到 £700。Kerridge 承認，沒有任何證據顯示 Wiltshire 的莊園辦公室用過印刷的計算手冊，但他認為討價還價的結果不比查表差。

Deringer 的解讀不同：表格是用來替代無結構的討價還價的。俗世地主在開放式議價中可以發揮不對稱的權力，沒有理由綁住自己的手，俗世佃戶也沒有足夠力量逼他們這麼做。

11.2 其他表格作者也說同一套道德語言

作者	年代	身分	目標讀者	表述
Richard Witt	1613	倫敦鹽商公會成員、算術教師	城市商人	強調表格能讓讀者避免損失
Thomas Clay	1619、1622、1624	土地測量師	貴族與地主	援引 Bodin 與 Cicero《論義務》，要兼顧貴族與平民、增進公共利益，避免背上「勒索者」的惡名
William Webster	1625	鹽商公會成員	商人	同樣強調公平交易
John Penkethman	1629	Chancery Lane 的代書與會計	法律客戶	表格對賣方買方都有用，誰都不會被佔便宜

這些宣傳的重點都放在「避免損失」與「避免不義」上，很少講可以賺多少。

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十二、更深的源頭：公正價格與 abbaco 傳統

• 中世紀的經院學者把「交換中的對等」視為一切交易應有的目的。Joel Kaye 的研究指出，13 世紀末的 Peter John Olivi 等人理解的「公正價格」是動態的，會隨情勢與交易雙方的需要而變，而且要放在整體社會的均衡與共同善中來衡量。
• 「先付錢、換未來收入」的交易，例如年金和 census 契約，正是經院學者爭論的焦點。
• 義大利 abbaco 商業數學學派的計算從來都帶著倫理意涵，例如如何公平分配合夥利潤。1202 年 Fibonacci 的《計算之書》被視為折現數學的起點，而這個學派又繼承了阿拉伯數學中計算與倫理不分家的傳統。

因此作者主張，早期折現表是中世紀乃至古典「公正價格」理想的具體化，而不是資本主義理性的先聲。

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十三、尾聲：演算法公平的長歷史

作者在結尾轉向現代。他借用 Rodrigo Ochigame 的說法，把 Acroyd 表視為「演算法公平長歷史」的一章：

• 現代之處：一頁頁晦澀的數字，被賦予替不懂數學的人判斷什麼是公平的權力。絕大多數教會佃戶看不懂這些表，從那張乘法表看來，連部分教會職員也看不懂。
• 成因清單：古典與經院的經濟正義觀、在多重壓力下的弱勢公共機構、大學帶來的數學能力、普通法的「合理性」傳統，再加上總體經濟變動造成的習俗崩解。作者認為這張清單也可以用來理解今天人們為何信任演算法判斷。
• 公平對誰而言？ 從一個角度看，表格成功創造出可以持續的分配方案，作者稱之為合成習俗。從另一個角度看，從古租轉向價值計算對佃戶整體不利，教會的做法也可能替俗世地產的去習俗化背書。受惠於教會租約的，又多半是富裕而人脈廣的人。

作者最後的論斷是：被計算出來的公平是一種共謀，是一部分利害關係人之間的交易，被排除在方程式之外的人既沒有參與，也常常因此受害。

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十四、作者立論的特色

1. 從用途寫計算史。作者不問這個技術多先進，只問誰、在哪裡、為了什麼用它。這是對技術史與制度經濟史中「輝格史觀」的直接挑戰。
2. 把折現的起點從倫敦金融城搬到鄉村與教會。精密經濟計算的制度化，既是鄉村的過程，也是城市的過程；既來自宗教與公共機構，也來自私人企業。
3. 弱者才綁住自己的手。量化不是強者支配的工具，而是弱勢機構自我約束、換取信任的手段。這呼應 Porter 的論點，但時間早了兩百年。
4. 計算與習俗互補。一般認為計算是市場化的先鋒，作者把它翻轉成 Polanyi 式的社會自我保護。
5. 巧妙運用物質證據。他從現存藏本的收藏地、手寫增補，甚至一張乘法表，推論出使用者的身分與能力。
6. 長時段的串連。從中世紀公正價格，到 17 世紀的表格，再到 21 世紀的演算法治理。
7. 雙面的結論。作者沒有把 Acroyd 表浪漫化成公平的勝利，而是同時承認它是一種共謀。

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十五、延伸對照：作者沒說，但值得放在一起看的

15.1 理論對話

理論或學者	核心說法	與本文的關係
Weber、Sombart	可計算性與複式簿記是資本主義理性的核心	本文主要的對手；作者站在 Carruthers 與 Espeland 這邊
Brenner 論戰（1976 年起）	英格蘭農業資本主義源於地主能對佃戶施加競爭性租約	本文提供一個重要例外：教會地產上的計算反而守住了習俗。這也解釋了為何 1660 年後俗世地產轉向按市價收租，教會地產卻沒有
Polanyi 雙向運動	市場擴張會引發社會的自我保護	作者明白引用，並指出計算本身就可以是反向運動的工具
E. P. Thompson「道德經濟」	18 世紀群眾以傳統的公正觀念抵抗市場價格	1720 年代佃戶捍衛舊表格，像是以數字為載體的道德經濟
Porter《Trust in Numbers》	量化是弱勢專業面對外部不信任時的「距離技術」。美國陸軍工兵團受國會與競爭機關夾擊，被迫採用僵硬的成本效益分析；地位穩固的法國路橋工程師團則可以依賴專家判斷	本文把「弱者綁手」的機制推到 17 世紀
Daston 與 Galison《Objectivity》	「機械客觀性」：用程序壓抑個人判斷	教會用表格對外展示公平、對內約束牧師
Espeland 與 Stevens「通約」（commensuration）	把不同事物化為共同的度量，本身就是一個社會過程	從「古租的倍數」轉為「調查價值的倍數」，正是通約基準的更換

15.2 東亞的平行案例：用「年收益倍數」重寫土地關係

案例	年代	「公式」	設計者	結果
Durham 座堂法令	1626	新租約 7¾ 年淨值；滿 7 年續約 1 年淨值（隱含約 11.6%）	座堂與佃戶談判	以價值取代古租，換來續租保障
Acroyd 表	1628	由「全期等於 8 或 7 年購價」反推利率	學院財務長	可在任意年份續約；高利率對佃戶有利
日本明治地租改正	1873	地價等於資本化後的淨收益；地租等於地價的 3%（1877 年降為 2.5%）	中央政府	以貨幣定額稅取代實物年貢；參數經過反推，以維持原有稅收
台灣大租權整理	1898–1905	土地調查確認小租戶為業主，並以公債補償大租權	日本殖民政府（後藤新平主導）	解消「一田二主」，清查出大量隱田，稅基擴大
三七五減租	1949／1951	地租不得超過主要作物正產品全年收穫量的 37.5%	國民政府	租率被鎖定；租約延續數十年，出租人收回耕地須補償承租人
耕者有其田	1953	徵收地價等於主要作物年收穫量的 2.5 倍	國民政府	地主得到 70% 實物土地債券與 30% 公營事業股票

明治地租改正的地價公式特別值得一看。依官方頒布的算例，地價 P 等於收穫價值 Y 扣掉種子肥料費（15%）、地租（地價的 3%）、村費（地價的 1%）之後，再除以 6% 的利率。地租本身出現在公式裡，所以要解方程式：

$$P=\frac{Y-0.15Y-0.03P-0.01P}{0.06}\;\Longrightarrow\;0.10P=0.85Y\;\Longrightarrow\;P=8.5Y$$

由此可得地租約為收穫的 25.5%，加上村費約 34%，和舊年貢的負擔大致相當。這和 Acroyd「先定好想要的答案，再反推利率」的手法如出一轍。後來 1876 年發生多起農民暴動，政府在 1877 年把稅率降到 2.5%。公式本身是談判的籌碼，也是談判的戰場。

三七五的來源也是一個「談判數字」。它可以追溯到 1920 年代國民黨的「二五減租」，也就是以當時常見的對分租率 50% 減去四分之一，得到 37.5%。這個數字之後被鎖進法律長達數十年，和 Acroyd 表的命運相當類似：一個妥協參數，被受益者捍衛成了「習俗」。

15.3 折現率永遠是政治：Stern 對 Nordhaus

Acroyd 選 11.2% 而不選 8%，等於在地主與佃戶之間做分配。今天氣候經濟學的折現率之爭，是同一個問題放大到跨世代的版本。Ramsey 公式為：

$$r=\delta+\eta\,g$$

δ 是純時間偏好，η 是邊際效用彈性，g 是人均消費成長率。Stern Review（2006）採用 δ = 0.1%、η = 1，得出 r 約 1.4%。Nordhaus 的 DICE 模型隱含的 r 約為 4% 到 5%。用這兩個利率折算 100 年後的 1 兆美元損失：

$$\frac{1}{1.014^{100}}\approx 0.249,\qquad \frac{1}{1.045^{100}}\approx 0.0123$$

兩者約差 20 倍，前者約 2,490 億美元，後者約 123 億美元。光是選擇利率，就決定了今天該為下個世紀付出多少。

美國聯邦法規分析也有類似的拉鋸。OMB Circular A-4 長期並列 3% 與 7% 兩個折現率，2023 年的修訂把預設值降到 2%，隨後在 2025 年遭新政府下令撤回。英國財政部的《Green Book》則採用 3.5% 起、隨年限遞減的社會折現率。

15.4 從「年」到「命」：租約如何催生精算學

很多教會租約以「三代人的壽命」為期，所以估價不只要折現，還要估算死亡率。這是 Bellhouse 論證「租約估價推動精算學發展」的核心。荷蘭的 De Witt（1671）與英國的 Halley（1693）都用生命表為終身年金定價。這條線直接連到下一章的第一個套利案例。

15.5 演算法公平的不可能定理

2016 年 ProPublica 分析再犯風險評分工具 COMPAS，指出黑人被告的偽陽性率較高。開發商則回應，這個工具在各族群間都是「校準」的。之後 Kleinberg、Mullainathan、Raghavan 與 Chouldechova 證明：只要兩個群體的基準率不同，「校準」、「偽陽性率相等」、「偽陰性率相等」三者在非退化的情況下不可能同時成立。「公平」必須先選定一種定義，就像 Acroyd 必須先選定一個利率。

但兩者有一個重大差異：Acroyd 的表是公開、可以重算的（本文第三節就重算了一遍）。它的「黑箱」來自識數能力的落差，而不是商業機密或不可解釋的模型。這一點在第十七節還會談到。

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十六、補充章：當公式變成目標——Goodhart 與 Campbell 定律的世界史

Acroyd 表處在一個有趣的位置：它是一個被設計來「客觀決定公平」的數學工具。歷史上這類工具很少能維持原意。一旦數字開始決定誰拿多少、誰升官、誰受罰，各方就會轉而針對數字本身下功夫。

16.1 定律家族

名稱	年代	原始脈絡	核心意思
Goodhart 定律	1975	英國貨幣政策（貨幣總量目標）	觀察到的統計規律，一旦被拿來作為控制目標，就會失效
Lucas 批判	1976	總體計量經濟學	政策改變會改變人的行為參數，舊模型因此失準
Campbell 定律	1976（1979 年正式發表）	社會方案評估	量化社會指標越常被用來做社會決策，越容易受到腐蝕壓力，也越會扭曲它原本要監測的過程
Strathern 的版本	1997	英國大學評鑑	一個量測一旦變成目標，就不再是好的量測
McNamara 謬誤	1960 年代	越戰的「屍體計數」	只管得了能量化的，忽視不能量化的
眼鏡蛇效應	殖民時期	懸賞獎勵（多屬軼聞）	獎勵機制反過來製造出要消滅的問題
多任務代理理論	1991	Holmström 與 Milgrom 的契約理論	只獎勵可量測的任務，努力就會從不可量測的任務中撤出
Bevan 與 Hood	2006	英國 NHS 的目標管理	「打中目標、錯過重點」；整理出棘輪、門檻、產出扭曲三種博弈
Manheim 與 Garrabrant	2018	AI 對齊研究	把 Goodhart 定律分成回歸、極值、因果、對抗四種變體

16.2 一個最小模型

假設被考核者可以投入真實努力 e_T，也可以投入「做數字」的努力 e_G。指標為：

$$M=e_{T}+\lambda\,e_{G}$$

λ 代表做數字的效率。考核者依 βM 給予獎勵，被考核者的成本為二次式，最適選擇是：

$$\max_{e_T,\,e_G}\ \beta M-\tfrac12\left(e_T^{2}+e_G^{2}\right)\ \Longrightarrow\ e_T^{}=\beta,\quad e_G^{}=\lambda\beta$$

指標的提升中，來自做數字的比例為：

$$\frac{\lambda e_G^{}}{M^{}}=\frac{\lambda^{2}\beta}{\beta+\lambda^{2}\beta}=\frac{\lambda^{2}}{1+\lambda^{2}}$$

這個模型給出三個結論：

1. 利害關係 β 越大，真實努力與做數字的努力會一起增加。
2. 汙染比例只取決於 λ。只要做數字比真實改善還容易（λ > 1），指標的提升就有一半以上是假的。
3. 透明性悖論：公式越公開、越精確，逆向工程的成本就越低，λ 越大。Acroyd 表正需要公開才有正當性，這是演算法公平的結構性兩難。

16.3 套利從哪裡下手？

攻擊面	說明	典型案例
輸入值	操弄公式的輸入參數	相關係數、評級模型的輸入；隱田；土地調查
量測點	改變何時、何處被量測	救護車停在急診門外；VW 偵測測試狀態；西安監測站塞棉紗
分類	把事物歸入較有利的類別	SUV 歸為輕型卡車；犯罪案件降級；負債移到表外
門檻	在不連續點附近堆積	急診 3 小時 59 分；盈餘剛好大於零；日本車重門檻；窗戶稅級距
選擇	挑選對自己有利的樣本	心臟外科避開高風險病人；日內瓦少女
參數固化	世界變了，參數沒有跟著變	Acroyd 的利率；GWP 係數；3% 與 60%
逆向製造	刻意製造會被獎勵的「壞東西」	HFC-23；河內鼠尾
結構最佳化	用演算法在規則內做極端最佳化	傑利蠑螈選區；CDO 分券設計

16.4 案例總表

時代與地點	工具及其數學或科學基礎	原初目的	套利手法	後果
1069 北宋	青苗法：固定利息的春貸秋還，並以放貸額考核官員	抑制民間高利貸	地方官「抑配」強迫放貸以達成額度	成為變相稅收，引發強烈反對
1580 明萬曆	全國清丈，以「弓」為丈量單位	清出隱田、平均賦役	豪戶以詭寄、飛灑轉嫁稅負；《明史·食貨志》記載地方官「爭改小弓以求田多」	數據的可信度受到質疑
1693 英格蘭	終身年金年息 14%（7 年購價），不分年齡	籌措戰費	指定幼童為年金所依附的生命	Halley 用生命表指出年輕人的年金定價過低
1696–1851 英格蘭	窗戶稅：以窗數推估財富並分級課稅	依財富課稅	封死窗戶；窗數集中在級距門檻之下	採光與健康受損（Oates 與 Schwab 2015）
1770–80 年代 法國與日內瓦	王室終身年金，不分年齡定價	財政籌資	「日內瓦三十少女」集合投資	早期的證券化套利；大革命後崩盤
1902 河內	按鼠尾數量發放懸賞	防治鼠疫	剪尾後放生，甚至養鼠	鼠患沒有解決
1960 年代 美國	越戰屍體計數	衡量戰果	浮報，把平民計入	McNamara 謬誤
1973–80 英國	補充特別存款制度（俗稱 corset）與貨幣總量目標	控制 M3 貨幣量	銀行透過「票據外流」繞道放款	成為 Goodhart 定律的原型
1975 年起 美國	CAFE 燃油效率標準，輕型卡車標準較寬	節約能源	SUV 被歸類為輕型卡車；後期以車身足跡訂標準，又誘發車輛放大	SUV 熱潮
1983 美國	Medicare 依 DRG 定額給付	控制醫療成本	診斷編碼往高價組別升級（DRG creep）	審查制度與分組定義不斷改版
1989 墨西哥城	Hoy No Circula 依車牌限行	減少空汙	購買第二輛車，常是更老舊的車	空氣品質沒有可測的改善（Davis 2008）
1989 年起 紐約	心臟手術風險調整後死亡率報告卡	提升醫療品質	醫師避免收治高風險病人	選擇效應（Dranove 等 2003）
1992 年起 歐盟	馬斯垂克條約的 3% 與 60%	財政紀律	換匯交易、一次性挹注、表外化	歐債危機
1990 年代起 全球	盈餘門檻與分析師預測	資訊揭露	盈餘管理，結果集中在零與預測值附近	一連串會計醜聞
2002 年起 台灣	健保總額加浮動點值	控制醫療總支出	各院衝高服務量，稀釋點值，形成囚徒困境	點值下滑，需要分區管控
2000 年代 美國	高斯 copula、評級模型與資本規範	量化違約相關性、決定資本要求	反覆調整結構，直到剛好拿到 AAA	2008 年金融危機
2004 年起 英國	NHS 急診 4 小時目標	縮短等候時間	時間集中在 3 小時 59 分前；救護車在門外滯留	「打中目標、錯過重點」
2005–2012 全球	CDM 碳權與 HFC-23（GWP 11,700）	資助減碳	刻意多產 HFC-23 再銷毀換碳權	歐盟 2013 年禁用這類碳權
2005–2012 全球	LIBOR，以截尾平均計算報價	基準利率	操縱報價	鉅額罰款；改用以實際交易為基礎的利率
2002–2015 美國	《有教無類法》（NCLB）標準化測驗	教育問責	竄改答案卷（亞特蘭大案）	多名教育人員被判刑
2010 年起 美國	人口普查資料加地理資訊系統重劃選區	一人一票、票票等值	REDMAP 計畫的「打包與切割」	席次與得票脫鉤
2015 全球	實驗室排放測試循環	環境保護	VW 用軟體偵測測試狀態	鉅額罰款與召回
2016 中國西安	空氣品質自動監測站	環保考核	用棉紗塞住採樣器	官員被判刑
2017 中國遼寧等地	GDP 與財政統計	政績考核	數據造假	推動地區 GDP 統一核算
2022 美國	US News 大學排名	提供升學資訊	誤報辦學數據（哥倫比亞大學）	從第 2 名跌到第 18 名
全球（含台灣）	期刊影響係數、SCI 與 SSCI 篇數	評估研究表現	引用卡特爾、論文獎金、灌水自我引用	期刊被除名；中國 2020 年起破除「SCI 至上」

16.5 深度案例

A. 早期現代的定價公式套利：與 Acroyd 同一套數學

終身年金的正確價值取決於受益人的年齡：

$$a_x=\sum_{t=1}^{\infty}v^{t}\,{}{t}p{x}$$

其中 ₜpₓ 是 x 歲的人再活 t 年的機率。1693 年英國的 Million Act 讓認購人選擇年息 14% 的終身年金，不論年齡一律 7 年購價。Halley 同年發表的生命表論文直接指出，這對年輕人極為划算。理性的買家會指定幼童作為年金依附的生命。

一百年後的法國更加極端。Necker 主政時期發行的終身年金同樣不分年齡。日內瓦的銀行家挑選了 30 名家世良好、已經出過天花而有免疫力的幼女，把大批年金依附在她們的壽命上，再分割成份額出售。這被視為早期的證券化。

這兩個案例和 Acroyd 表是同一套數學，差別在於：Acroyd 的租約有固定年限，終身年金沒有。一旦公式省略了某個與價值相關的變數（這裡是年齡），套利者就會專門從這個被省略的變數下手。

窗戶稅則是另一種典型。用窗數當財富的代理變數，再設級距課稅，結果房屋的窗數明顯集中在級距門檻之下（Oates 與 Schwab 2015）。這是門檻堆積的早期統計證據。

B. 東亞的丈量與考核

萬曆清丈的目的與 Durham 1621 年的土地調查相同，都是建立以實際價值為基礎的稅或租。但當清出的田畝數變成考核地方官的政績，量尺本身就成了被操弄的對象：改用較短的弓，畝數就會增加。北宋青苗法則讓一項金融政策變成放貸額度的競賽，官員把貸款攤派給不需要借錢的人。輸入值與量測工具一旦和考核結果掛鉤，就再也不中立了。

C. 高斯 copula、評級與 Basel 公式

David X. Li 在 2000 年發表的單因子高斯 copula 模型如下：

$$X_i=\sqrt{\rho}\,M+\sqrt{1-\rho}\,\varepsilon_i,\qquad \text{default if } X_i<\Phi^{-1}(p)$$

在共同因子 M 給定時，個別資產的條件違約機率為：

$$p(M)=\Phi!\left(\frac{\Phi^{-1}(p)-\sqrt{\rho}\,M}{\sqrt{1-\rho}}\right)$$

一切都取決於相關係數 ρ。房貸違約的歷史資料短，又剛好遇上房價上漲期，ρ 很容易被低估，優先分券的違約機率看起來就低得不可思議。

套利機制有三層：

1. 對評級模型做最佳化：評級機構把模型工具提供給發行商，發行商可以反覆調整資產池與分券結構，直到剛好跨過 AAA 門檻。
2. 評級連動監管資本：美國 2001 年的追索權規則讓 AAA 與 AA 評級的私人標籤證券只需 20% 的風險權重，遠低於直接持有房貸的 50%。把房貸包裝成證券，可以直接節省資本。
3. 監管公式本身就是同一類模型：Basel II 內部評等法的資本公式，正是 Vasicek 單因子高斯模型：

$$K=\text{LGD}\left[\Phi!\left(\frac{\Phi^{-1}(\text{PD})+\sqrt{R}\,\Phi^{-1}(0.999)}{\sqrt{1-R}}\right)-\text{PD}\right]\times \text{MA}$$

違約機率（PD）由銀行用內部模型估計，於是各銀行對同一資產的風險權重差異很大。有研究指出，資本越吃緊的銀行，申報的風險權重越低。Basel III 後來加上「產出下限」：內部模型算出的風險加權資產，不得低於標準法的 72.5%。這等於用另一道門檻去圍堵前一道門檻。

另外要補充 MacKenzie 與 Spears（2014）的提醒，Deringer 也引用了這篇研究：真正出事的 ABS CDO 評估流程，和「殺死華爾街的公式」這種說法之間的關係要複雜得多。這個公式在不同社群中扮演不同角色，其中一個重要角色是作為「溝通工具」。這正好呼應 Deringer 的觀點：模型的社會功能遠大於它的技術功能。

D. 馬斯垂克的 3% 與 60%

這兩個數字有一個簡單的數學關係。債務占 GDP 的比率為 d，赤字率為 b，名目成長率為 g：

$$d_{t+1}=\frac{d_t}{1+g}+b\;\Longrightarrow\;d^{*}=\frac{b(1+g)}{g}\approx\frac{b}{g}=\frac{3\%}{5\%}=60\%$$

也就是說，在 5% 名目成長的假設下（約 3% 實質成長加 2% 通膨），3% 的赤字會讓債務長期穩定在約 60%。3% 本身的來歷則帶有幾分偶然。法國財政官員 Guy Abeille 多年後受訪時說，1981 年他和同事在很短的時間內為 Mitterrand 政府想出了這個數字，事先沒有理論依據，後來它被寫進了條約。

一旦數字成了「合格或不合格」的門檻，創意會計就隨之出現：

• 1997 年，法國電信把約 375 億法郎的退休金負債連同資產轉移給國家，一次性改善赤字。
• 義大利在入盟前也被研究者（例如 Gustavo Piga）指出曾利用衍生性金融商品改善帳面。
• 據報導，希臘 2001 年與高盛做了一筆採用非市場匯率的換匯交易，使帳面債務減少約 28 億歐元，實質上是一筆隱藏的貸款。
• 2004 年的帳目修正顯示，希臘多個關鍵年度的赤字其實都超過 3%。2009 年新政府上任後，大幅上修赤字，最終經歐盟統計局確認為 GDP 的 15.4%。

這個案例同時包含三種攻擊面：門檻（剛好壓在 3% 以下）、分類（表外化）、參數固化（5% 的名目成長假設在 2008 年後已不成立，60% 卻仍是法定目標）。

E. HFC-23：逆向製造的碳權

碳權的核發公式極為簡單：

$$\text{CERs}=m_{\text{HFC-23}}\times\text{GWP}{\text{HFC-23}}=m{\text{HFC-23}}\times 11{,}700$$

HFC-23 是生產冷媒 HCFC-22 的副產品，產生率約在 1.5% 到 4% 之間。以 3% 計算一個示意數字：

$$1\ \text{t}\times 3\%\times 11{,}700=351\ \text{tCO}_2\text{e}$$

以 2000 年代中期每噸碳權約 10 歐元估算，每生產一噸冷媒，可以衍生約 3,500 歐元的碳權收入，明顯高於冷媒本身的售價。銷毀 HFC-23 的成本又極低，每噸二氧化碳當量不到 1 美元。結果副產品比主產品還值錢，工廠就有誘因多生產冷媒，甚至提高副產品的產生率。早期 HFC-23 專案一度占已核發碳權的近半數。

後續發展有三點：

• 審批方法後來陸續加上產生率上限與歷史產量基線等防弊條款，但效果有限。
• 歐盟在 2011 年決議，自 2013 年起不再接受 HFC-23 與己二酸 N₂O 的碳權。
• 斯德哥爾摩環境研究所 2015 年的研究指出，俄羅斯與烏克蘭的部分「共同執行」專案，在可以領取碳權的期間大幅提高了廢氣的產生率。

這裡還有一個和 Acroyd 表相同的細節：GWP 這個係數本身會被科學修正。IPCC 第二次評估報告給的是 11,700，第四次評估報告改為 14,800，第五次又改為 12,400。條約與市場卻鎖定在某一版的數字上。科學在更新，法律上的參數卻固化了，就像 Acroyd 的 11.2% 對上一路下降的法定利率。

F. 傑利蠑螈：數學的軍備競賽

選區劃分的不公平有幾種量化指標。效率差距（efficiency gap）計算兩黨「浪費票」的差額占總票數的比例。敗選一方的票全算浪費，勝選一方超過過半所需的票也算浪費：

$$\text{EG}=\frac{W_A-W_B}{N}$$

緊密度指標 Polsby–Popper 衡量選區形狀是否奇特，A 是面積，P 是周長：

$$\text{PP}=\frac{4\pi A}{P^{2}}$$

2010 年的 REDMAP 計畫在州議會選舉中取得多數席次，進而掌握重劃權，再用精細的選民資料執行「打包」（把對手選民集中在少數選區）與「切割」（把對手選民分散到多個選區）。2012 年，賓州與北卡羅來納州的民主黨在全州眾議員選舉中得票較多，卻只拿到少數席次（賓州 18 席中 5 席，北卡 13 席中 4 席）。

軍備競賽隨即開始：

• 數學家發展出「集成分析」，用 MCMC 等方法隨機產生數以萬計的合法地圖，再看實際地圖在其中是不是極端的離群值。2018 年賓州最高法院推翻該州選區圖時，這類分析是關鍵證據。
• 但偵測指標本身也可以被套利。效率差距可以被刻意「達標」，緊密度也會受到海岸線這種碎形邊界的干擾。
• 2019 年，美國最高法院在 Rucho v. Common Cause 一案中裁定，黨派傑利蠑螈不屬於聯邦法院可以審理的問題。

這是一場數學對數學的軍備競賽，最後仍然要回到政治。

G. NHS 急診 4 小時目標與門檻堆積

2004 年，英國設定急診患者 98% 須在 4 小時內完成處置的目標，2010 年放寬為 95%。Bevan 與 Hood（2006）系統整理了「目標加恐懼」治理下的博弈：

• 門檻效應：處置時間大量集中在 4 小時之前，在 3 小時 50 多分時出現離院或住院的高峰。
• 量測點操弄：救護車在急診門外排隊等候，因為計時從進入急診才開始。
• 產出扭曲：為了趕時限，病人被送進不適合的病房。

另一個經典例子是「家醫 48 小時內看診」目標。2005 年，一位民眾在 BBC 節目 Question Time 上當面告訴首相 Blair，診所為了達標，乾脆不接受 48 小時以後的預約。2013 年 Mid Staffordshire 醫院醜聞的調查報告也指出，追逐目標排擠了對病人的照護。

門檻堆積在其他領域也一再出現。企業盈餘的分布在「剛好大於零」和「剛好達到分析師預測」的位置出現不連續（Degeorge、Patel 與 Zeckhauser 1999）；日本的燃油效率標準以車重分級，車重就集中在門檻上方（下一則案例）。只要制度設計出一個斷點，就會有人擠到斷點的有利一側。

H. 實驗室與現實的落差

• Volkswagen：2015 年爆發的排放醜聞中，引擎軟體能辨識車輛正在接受實驗室測試，測試時開啟完整的排氣處理，平常則關閉，實際道路的 NOx 排放可達標準的數十倍，全球約 1,100 萬輛車受影響。
• 歐洲油耗：國際清潔交通委員會（ICCT）的研究顯示，官方測試油耗與實際油耗的差距，從 2001 年的約 8% 擴大到 2015 年前後的約 40%。歐盟之後改用新的測試程序，並加入實際道路排放測試（RDE）。
• 日本的車重門檻：Ito 與 Sallee（2018）發現，日本以車重分級的燃油標準是階梯函數，車廠會把車輛的重量增加到剛好跨過門檻，以適用較寬鬆的標準。

I. 統計與政績

• 中國長期以 GDP 作為官員考核的核心，導致各省 GDP 加總長期高於全國 GDP。2007 年外洩的外交電報記載，李克強表示自己更看重用電量、鐵路貨運量與銀行貸款，後來被稱為「李克強指數」。2017 年遼寧承認財政數據造假，2018 年天津濱海新區把 GDP 從逾萬億元下修到約 6,654 億元，之後中國推動地區 GDP 統一核算。
• 環保考核也出現類似問題，例如 2016 年西安的空氣監測站被塞入棉紗。
• 英國警方的犯罪統計因為低報問題，在 2014 年被英國統計局取消「國家統計」認證。紐約市警局的 CompStat 制度也長期被質疑把重罪降級為輕罪登錄。

J. 學術與教育

• 2022 年，哥倫比亞大學數學系教授 Michael Thaddeus 逐項檢驗校方提交給 US News 的辦學數據，發現多處無法核實。校方隨後被暫時移出排名，再回到排名時從第 2 名跌到第 18 名。
• 期刊影響係數催生了引用卡特爾，科睿唯安每年都會因異常引用而暫停部分期刊的影響係數。
• 一項 2017 年的研究顯示，中國部分大學對發表在《Nature》或《Science》的論文發放的獎金，平均約四萬多美元，最高達十餘萬美元。2020 年，科技部與教育部發文要求破除「SCI 至上」。
• 亞特蘭大公立學校在 NCLB 測驗問責壓力下集體竄改答案卷，2015 年有 11 名教育人員依組織犯罪相關法律被定罪。

16.6 跨案例的共同模式

模式	機制	現代案例	Acroyd 世界中的對應
戰場轉移到輸入值	公式固定以後，爭奪改在輸入值上進行	相關係數、PD、辦學數據	價值基礎權利金使土地調查成為新戰場；Acroyd 題詞中提到的佃戶「隱瞞價值」之詐
參數固化	談判出來的參數變成神聖不可動	3% 與 60%、GWP、三七五	11.2% 對上一路降到 5% 的法定利率
受益者捕獲	規則的受益者形成利益團體，捍衛規則	碳權開發商；被不公平選區保護的現任議員	18 世紀教會租約成為貴族與議員的投資標的
門檻堆積	不連續點吸引行為集中	4 小時、盈餘零點、車重門檻	「每 7 年續約」的整數規則，正是 Acroyd 想取代的對象
外部化	公平只存在於規則的參與者之間	碳權買家把減量責任外包	俗世佃戶、未來的神職人員都不在方程式之內
偵測與規避的軍備競賽	防弊指標本身又成為新的套利對象	Basel 產出下限、選區集成分析、RDE	1720 到 1730 年代的小冊之爭與國會立法嘗試

16.7 回到 Acroyd：一場慢動作的 Campbell 定律

用這一章的眼光回頭看，Acroyd 表其實就是一場以百年為尺度的 Campbell 定律：

1. 1628 年：一個為了「公平」而設計的公式誕生，利率參數直接沿用當時的行情。
2. 1650 到 1700 年：公式成為例行公事，使用者甚至需要乘法表輔助。數字從「判斷的工具」變成「判斷本身」。
3. 1714 年以後：市場利率下降，公式參數與現實脫節，價差被承租人以近乎年金的方式收走。有能力的投資人買下教會租約，再以市價轉租給實際耕作者。
4. 1720 到 1730 年代：受益者以「習俗」為名捍衛參數。原本的公平工具成了政治籌碼。

不過 Deringer 的研究也替 Campbell 定律補上了一個重要的面向。Campbell 定律的典型模型是「委託人對代理人」：一個考核者，一群被考核者。Deringer 描述的則是聯盟：一個數字之所以能夠穩定，正是因為它是多方談判後的妥協；所謂的「套利」，常常就是用另一種方式繼續談判。所以要問的不只是指標有沒有被腐蝕，還要問：當初是誰坐在談判桌上，又是誰從頭到尾不在方程式裡。

16.8 設計上的啟示

• 用指標做診斷，不要直接拿來獎懲。這是 Campbell 本人的建議：量化指標越少直接連動獎懲，越不容易被腐蝕。
• 多指標並陳，並保留人的判斷。多任務代理理論指出，只獎勵單一可量測的任務必然會排擠其他任務。
• 讓量測點不可預測。隨機稽核、實際道路測試（VW 案後的 RDE）、以交易為基礎的利率（LIBOR 改為 SOFR），都是在降低 λ。
• 參數要有日落條款。GWP、折現率、門檻值都應該定期重新估算，避免重演 Acroyd 的 11.2%。
• 用連續函數取代階梯。日本車重分級的教訓是：硬門檻一定會吸引行為集中。
• 把被排除者納入方程式。這是 Deringer 的結論，也是演算法公平研究至今仍在處理的問題。

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十七、點評：這篇論文的學術價值站得住嗎？

主張或價值	作者的證據	我的檢驗	判定
1. 早期折現表的主要用途是農地租約權利金	Bellhouse 的研究、Acroyd 表的結構與書名、Mabbut 1686 年的書名	表的結構本身就是最強的證據，表 i 與 ii 專為補滿租約而設計。但 Witt 與 Webster 是面向城市商人的，「主要」二字仍有一部分靠推論	大致成立
2. 教會是關鍵的早期採用者	11 本中有 3 本藏在教會檔案、另有多本在學院；手寫增補；Mabbut 書名；Clay 1980 年的研究	有存藏偏差：教會與學院本來就是最會保存文獻的機構。Durham 本身要到約 1650 年才進入精密計算階段。三一學院是否實際用這套表定價，文中缺乏帳簿層級的直接證據（作者對學院財務如何好轉的描述也相當保留）	成立，但證據偏間接
3. 折現表是社會調適技術，而非工具理性的極大化器	Durham 的衝突史、Heal 對 Canterbury 制度的評價、1720 年代佃戶捍衛表格	最有力的證據其實是 18 世紀的事後證據：佃戶捍衛表格，教會無法調升。關於「一開始就是為了調適而設計」的動機，證據較薄。各家序言的道德語言也可能是行銷修辭，正如 Carruthers 與 Espeland 所說的「象徵性」，作者把它當證據使用時略顯樂觀	就結果而言成立；就動機而言部分成立
4. Acroyd 的利率對佃戶比較慷慨	1.06 對 1.77 的比較	比較的基準是 8% 的法定借貸利率，但承租人要承擔農作風險，借貸利率未必是合適的對照。依作者自己的說法，「8 年購價」是既有慣例，Acroyd 是把既有的寬鬆寫進公式，而不是自己創造了寬鬆。此外，依我的重算，1.06 對應的是利率 19/170 的表 i，而不是利率 9/68 的表 1（後者約為 0.77），文中標示的「Table 1」疑為小筆誤；若改用表 1 的數字，論點反而更強	方向成立，幅度需要保留
5. 計算補足習俗，是 Polanyi 式的反向運動	Durham、Canterbury、18 世紀的論戰	作者自己也承認，從古租轉向調查價值是對佃戶不利的巨大轉變，表格同時是這場商品化的潤滑劑。「補足習俗」與「讓價值化得以被接受」是同一枚硬幣的兩面。作者在結尾確實處理了這個雙面性，但正文前段的語氣比較單向	成立，但必須雙面解讀
6. 這是演算法公平的早期篇章	類比	很有啟發性。但 Acroyd 表是公開、可以重算的，它的不透明來自識數能力的落差，而不是商業機密或不可解釋的模型。「教會政策加速了俗世地產的去習俗化」也是作者明言的推測	作為詮釋框架成立，作為因果主張尚待證明
7. 方法論上的貢獻	從使用痕跡（乘法表、手寫增補、收藏地）重建使用者	這是書籍史與科學史「使用者轉向」的漂亮示範，乘法表那段推論尤其精彩。但樣本很小，一本書、一座座堂、一個郡的對照，作者也自己提醒不宜過度推論	成立

整體評價：

這篇論文最大的價值，在於它拆掉了「計算等於資本主義理性」這個幾乎沒人質疑的等式，並且證明量化可以是弱勢機構為了換取信任而自我約束的手段。這個機制在 Porter 的研究中屬於 19、20 世紀，Deringer 把它推到了 17 世紀初。

它的弱點主要在證據的間接性：教會是不是「最早」的採用者、Acroyd 當初的設計動機是什麼，大多是從收藏分布、書名與後來的發展回推出來的。但它最有力的證據，也就是 18 世紀佃戶捍衛表格、教會調不動權利金，幾乎無可辯駁地證明了一件事：這些表在實際運作中確實綁住了教會的手，而且綁得比任何人預期的更久。

把這篇論文與第十六節的案例一起讀，會得到一個比 Goodhart 或 Campbell 都更複雜的圖像。數字被套利，不一定是數字設計得不好，而常常是因為數字本來就是一份停戰協議。一份停戰協議遲早會被重新談判。真正要問的是：下一輪談判時，誰會在桌上，誰又會再次被排除在方程式之外。