Conceito
Conjuntos são uma coleção de elementos. Esses elementos podem ser diversas coisas. Pode ser um conjunto de livros, alunos, conchas do mar, pedras, etc.
Na matemática, que é o nosso foco aqui, conjuntos podem incluir desde números até mesmo outros conjuntos, além de não precisarem ser finitos ou ter elementos todos do mesmo tipo.
Conjuntos da matemática
Existem 6 conjuntos numéricos relevantes para nós nesse momento, são eles os Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais, Reais e Complexos (ou Imaginários).
Notação
Como forma de padronizar a escrita dos conjuntos e facilitar a compreensão, ou seja, deixar claro quando estamos tratando de um conjunto, foi criado a simbologia das chaves {} que deve sempre estar envolvendo o conjunto, demarcando que se trata de um. Além das letras maiúsculas, a denotação de conjuntos é feita usando letras maiúsculas.
Observe abaixo um conjunto de vogais:
V = {a, e, i, o, u}
Notação de conjuntos a partir de regras
Existe uma notação para definir um conjunto de elementos a partir de ume regra:
A = {f(x) | <universo>, <condições>}
Nesse caso, essa regra diz que o conjunto A contém todos os valores f(x) dados os valores de x contidos no universo que respeitem as condições.
Cardinalidade
"Cardinalidade" é o nome que se dá para a quantidade de elementos do conjunto, caso ele seja um conjunto finito.
A notação para se explicitar que se trata do cardeal do conjunto é n(A), onde "A" é o conjunto referido.
Cardinalidade Zero ou Conjunto Vazio
Um conjunto vazio é um conjunto que não contém nenhum elemento dentro dele, porém isso não nega sua existência. Um conjunto não precisa ter itens dentro dele para existir.
Notação do conjunto vazio
O conjunto vazio é denotado como ∅. E atenção, essa não é a denotação do vazio, mas sim de um conjunto vazio. Para entender a diferença, observe o seguinte exemplo:
n(∅) = 0
n({∅}) = 1
Isso ocorre pois, no primeiro exemplo queremos saber a quantidade de itens dentro de um conjunto vazio, que no caso, não tem nada lá, ou seja, 0 elementos, como no segundo exemplo trata-se de um conjunto contendo um conjunto vazio, ele tem um elemento dentro dele, que é o próprio conjunto vazio.
Subconjuntos e Igualdade
Subconjuntos
Temos um subconjunto quando todos os elementos de um conjunto estão dentro de outro conjunto.
O símbolo que usamos para notação de subconjuntos é o "contido": ⊂
Observe os exemplos abaixo:
A ⊂ B (A está contido em B)
{1, 2, 3, 4} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Igualdade
Podemos dizer que há igualdade entre A e B se A ⊂ B e B ⊂ A forem verdadeiros.
Conjunto das Partes
O conjunto das partes P(A) de um conjunto A é outro conjunto contendo todos os possíveis subconjuntosas diretamente ligados a A, o que significa que não considera elementos de conjuntos contidos em A. As combinações devem incluir o conjunto inteiro e um conjunto vazio, pois são subconjuntos de A.
P({2, 3, 4}) = {∅, {2}, {3}, {4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {2, 3, 4}}
P(∅) = {∅}
P({2}) = {∅, {2}}
A quantidade de itens no conjunto das partes de um conjunto é igual a 2 elevado a quantidade de itens contidos no conjunto. Portanto, um conjunto vazio terá um item (2⁰ = 1), com 1 item terá 2 itens e por ai vai.
Produto Cartesiano
O Produto Cartesiano é um conjunto de pares ordenados com elementos do primeiro e do segundo conjuntos, combinados em pares, tendo todos os elementos do primeiro conjunto combinados com todos os elementos do segundo conjunto.
O Produto Cartesiano entre dois conjuntos A e B (AxB) pode ser descrito da seguinte forma, considerando que A = {2, 3, 4} e B = {5, 6}
AxB = {(2,5), (2,6), (3,5), (3,6), (4,5), (4,6)}
A quantidade de itens no Produto Cartesiano de dois conjuntos é igual ao produto do cardinal desses dois conjuntos. Em palavras mais simples, a quantidade de elementos que você vai obter no final é igual ao resultado de você multiplicar a quantidade de itens que tem nos dois.
União
A união de A e B (A⋃B) é igual a todos os elementos que tem em A ou em B.
{2, 3} ⋃ {4, 5} = {2, 3, 4, 5}
Interseção
A interseção entre A e B (A⋂B) é um conjunto que tem apenas os elementos que ambos os conjuntos têm em comum, podendo também ser um conjunto vazio no caso de não terem nada em comum (Conjuntos disjuntos).
Diferença
Semelhante ao conceito de subtração, a diferença entre dois conjuntos é o que o primeiro conjunto tem que o segundo não tem.
Dessa forma:
{2, 3, 4, 5, 6} - {3, 4, 5} = {2, 6}
Curiosidade
Uma outra forma de ver diferença, seria a interseção do primeiro conjunto com o complemento do segundo.
Complemento
O complemento de A (Ᾱ) é igual a diferença entre o universo de discurso e A (U-A).
Ᾱ = U-A
Considerando os Naturais como universo de discurso
-{2, 3} = {0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9...}
Universo é o ambiente que estamos considerando como o "todo".
Conjuntos numéricos
Números Naturais (N)
O conjunto dos números naturais é o conjunto que abrange todos os números inteiros não negativos. (Ou seja, de 0 até infinito)
Números inteiros são números sem parte decimal.
Números Inteiros (Z)
O conjunto dos inteiros abrange todos os inteiros, tanto positivos quanto negativos, assim como o zero.
Números Racionais (Q)
O conjunto dos racionais abrange todos os números que podem ser escritos na forma de uma fração de inteiros. Lembrando que o denominador não pode ser zero.
Números Irracionais (I)
O conjunto dos irracionais abrange todos os números que não podem ser escritos na forma de uma fração de inteiros. Outra definição seria um número decimal não periódico com infinitas casas decimais, isto é, infinitos números depois da vírgula sem nenhum padrão.
Números Reais (R)
O conjunto dos reais abrange a união dos Racionais e Irracionais.
Números Imaginários (C)
O conjunto dos imaginários abrange o conjunto dos reais e também inclui números complexos, como por exemplo √-1, que não tem solução dentro do conjunto dos Reais. Raiz quadrada de -1 também é comumente chamada de "i".
N é subconjunto de Z
Z é subconjunto de Q
Q e I são subconjuntos de R
R é subconjunto de C
E é isso!
Espero que tenham entendido, e sinta-se a vontade para deixar qualquer sugestão, dúvida ou correção nos comentários.
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