João Pedro V

Posted on Jul 25

Lógica Matemática

#computerscience #math

O Conceito de Proposição

Uma proposição é uma afirmação na qual seja possível atribuir um sentido lógico a ela.

Alguns exemplos de proposições são:

Jorge é feliz
O céu é vermelho
A terra é plana
5 > 10

Você pode ter notado que, com exceção da primeira proposição, as outras três estão incorretas, se você teve esse pensamento para alguma das afirmações anteriores, perfeito! Você acabou de atribuir um valor lógico à uma proposição.

Como dito anteriormente, uma proposição é uma afirmação que você pode atribuir um valor lógico (ou seja, verdadeiro ou falso).

O que você acabou de fazer foi atribuir o valor lógico "falso" para uma das proposições anteriores. Receber o valor lógico "falso" não é algo negativo nesse caso, só queremos saber se ela é uma proposição ou não. A afirmação "Jorge é feliz" por exemplo, é uma proposição pois você pode atribuir o valor lógico "verdadeiro", concordando que Jorge realmente é feliz, ou "falso", discordando do que foi dito. O que realmente importa aqui é o fato de você poder afirmar ou negar essa afirmação.

Parece bem abrangente né? Mas nem tudo é uma proposição, existem algumas sentenças que não podem ser consideradas uma proposição pelo motivo de não ser possível atribuir um valor lógico à elas, como por exemplo sentenças exclamativas, imperativas e interrogativas.

Sentenças Exclamativas

Uau!
Parabéns!
Obrigado!

Sentenças Imperativas

Pegue o livro.
Coma uma maçã.
Receba o presente.

Sentenças Interrogativas

Parece abrangente?
Qual a cor do céu?
Quantas estrelas tem no espaço?

Além disso, existe também alguns princípios que as proposições devem seguir.

Princípio da identidade

Esse princípio afirma que uma proposição é igual a ela mesma, uma proposição verdadeira é verdadeira e uma proposição falsa é falsa.

Princípio da não-contradição

Esse princípio diz que uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

Princípio do Terceiro Excluído

Esse princípio diz que uma proposição só poderá ser verdadeira ou falsa, não havendo uma terceira possibilidade.

Além dos princípios e do conceito base, também é importante saber da existência de diferentes tipos de proposição, como as proposições simples e compostas.

Proposições simples

Essas proposições são singulares e não acompanham outra proposição na mesma sentença. Normalmente usa-se letras minúsculas para se referenciar a estas preposições.

Proposições compostas

Essa categoria de proposição é composta de no mínimo duas proposições conectadas entre si, com algum dos operadores lógicos que veremos a seguir, formando uma única sentença. Para esse tipo de sentença, normalmente usa-se letras maiúsculas para referenciá-las.

Entendendo a Tabela-Verdade

Na Lógica Matemática, trabalhamos com a análise de proposições, normalmente compostas e a relação entre elas de acordo com os operadores que as conectam.

Uma tabela-verdade é literalmente uma tabela onde se coloca todas as combinações de valores lógicos possíveis para as proposições, para analisá-las mais atentamente, e assim, conseguir compreender mais sobre o que está acontecendo. Isso vai ficar mais claro quando conhecermos os operadores lógicos.

Exemplos de tabela verdade:

Tabela-verdade com uma proposição

p
V
F

Tabela-verdade com duas proposições

p	q
V	V
V	F
F	V
F	F

Tabela-verdade com três proposições

p	q	r
V	V	V
V	V	F
V	F	V
V	F	F
F	V	V
F	V	F
F	F	V
F	F	F

Você pode ter notado que a quantidade de linhas da tabela dobra quando você acrescenta uma nova proposição. Isso acontece pelo cálculo de possibilidades, que nesse caso, são duas, "verdadeiro" ou "falso". Sendo assim, toda vez que você acrescenta uma nova proposição, é como se estivesse multiplicando a quantidade de possibilidades por 2.

Para uma definição mais formal, a tabela verdade sempre terá 2ⁿ linhas, sendo n a quantidade de proposições.

Operadores Lógicos e Ordem de Prioridade

Assim como na matemática convencional, a Lógica Matemática na qual vamos tratar aqui contém operadores próprios tal qual sua respectiva ordem de prioridade.

Operadores Lógicos

Para os exemplos a seguir, considere "p" e "q" como proposições simples.

Negação

O operador de negação inverte o valor lógico da proposição.

Normalmente conhecido como o "não" lógico.

p	¬p
V	F
F	V

~p = 'p = ¬p = não p

Símbolo do operador: ~ ou ' ou ¬

Conjunção

Normalmente conhecido como o "e" lógico.

p	q	p ⋀ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

O operador de conjunção retorna verdadeiro se ambas as proposições forem verdadeiras e falso em qualquer outro caso.

p ⋀ q = p e q

Símbolo do operador: ⋀

Disjunção

Normalmente conhecido como o "ou" lógico.

p	q	p ⋁ q
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

O operador de disjunção retorna verdadeiro se ao menos uma das proposições forem verdadeiras, retornando falso apenas quando ambas são falsas.

p ⋁ q = p ou q

Símbolo do operador: ⋁

Disjunção Exclusiva

Normalmente conhecido como o "ou exclusivo".

p	q	p ⊻ q
V	V	F
V	F	V
F	V	V
F	F	F

A disjunção exclusiva retorna verdadeiro somente se uma ou outra proposição for verdadeira. Caso ambas sejam verdadeiras ou ambas sejam falsas, ele retorna falso.

p ⊻ q = ou p ou q

Símbolo do operador: ⊻

Condicional

p	q	p → q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Normalmente conhecido como o "então" lógico.

A condicional retorna verdadeiro ao menos que a primeira proposição seja verdadeira e a segunda seja falsa, portanto, nota-se que a ordem importa.

p → q = se p então q

Símbolo do operador: →

Bicondicional

Normalmente conhecido como o "se e somente se".

p	q	p ↔ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

A bicondicional retorna verdadeiro caso ambas as proposições tenham o mesmo valor lógico e falso caso contrário.

p ↔ q = p se e somente se q

Símbolo do operador: ↔

Ordem de Prioridade

Assim como na matemática "comum", que as operações devem seguir uma ordem (multiplicações precedem as adições, por exemplo), quando você vai resolver operações lógicas, você deve seguir uma ordem de precedência das operações, e a ordem é a seguinte:

Negação
Conjunção e Disjunção, na ordem em que aparecem da esquerda pra direita
Condicional
Bicondicional

Classificação das proposições compostas

Tautologia

Temos uma tautologia quando uma proposição composta sempre retorna verdadeiro, independente das suas proposições simples.

Observe um exemplo de tautologia:

p	~p	p ⋁ ~p
V	F	V
F	V	V

No exemplo, estamos usando o operador de disjunção para unir as proposições p e ~p ("não" p), porém, o operador "ou" retorna verdadeiro sempre que ao menos um dos valores seja verdadeiro, e estamos usando ele para unir duas proposições que sempre serão opostas, portanto sempre haverá uma proposição verdadeira, resultando em "verdadeiro" sempre.

Contradição

Temos uma contradição quando acontece o exato oposto do que acontece na tautologia, isto é, a proposição composta sempre retorna falso, independente das proposições simples envolvidas.

Uma forma simples de exemplificar uma contradição, é com o mesmo exemplo anterior porém aplicado com uma conjunção ao invés de uma disjunção. Observe o exemplo abaixo:

p	~p	p ⋀ ~p
V	F	F
F	V	F

No exemplo acima, temos uma proposição formada por duas proposições simples inversas, isto é, uma sempre terá o valor lógico oposto ao da outra. Lembrando que a conjunção sempre retornará falso quando ao menos uma das proposições forem falsas, e considerando que os valores no exemplo sempre serão opostos, isso sempre retornará falso.

Contingência

Diferente das outras duas classificações explicadas anteriormente, temos uma contingência quando o que a proposição retornará depende do valor lógico atribuído às proposições simples relacionadas a ela. Observe dois exemplos de contingência abaixo, usando os mesmos operadores usados nos exemplos anteriores:

p	q	p ⋀ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

p	q	p ⋁ q
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Só uma última consideração

Por questões de simplicidade, foram usadas duas proposições apenas nos exemplos de contingência, mas isso não é obrigatório. É possível ter uma tautologia ou uma contradição com duas ou mais proposições simples envolvidas.

Postulados, Propriedades e Teoremas da álgebra de Boole

Em breve...

Teorema de Morgan