Miért működik az elemi bázistranszformáció?

Aki nem humán képzésre járt felsőoktatási tanulmányai során, az biztosan hallott már a lineáris algebráról és arról, hogy a lineáris algebra segítségével meg lehet oldani lineáris egyenletrendszereket. Az elemi bázistranszformáció tipikusan egy ilyen módszer. A legtöbben csak mechanikusan oldják meg, és kevesebben ismerik a számítás valódi hátterét.

A bázistranszformációs trükk

A bázistranszformáció során elimináljuk a pivot elemek oszlopait, de ez nem azt jelenti, hogy az oszlopokban lévő értékekkel nem történik semmi érdemleges. Sok oktató már eleve az oszlopeliminációra ugrik, ami arra készteti a tanulót, hogy algoritmikusan, a mögöttes tartalom megértése nélkül oldja meg a feladatot. Viszont éppen a kimaradó elemekkel történnek a legérdekesebb dolgok. Vegyük a következő lineáris egyenletrendszert:

$$\begin{array}{cc|c} 5x_1 & 6x_2 & 20 \\ 2x_1 & 4x_2 & 15 \end{array}$$

Írjuk fel a kibővített együttható-mátrixot!

$$\left[ \begin{array}{cc|c} 5 & 6 & 20 \\ 2 & 4 & 15 \end{array} \right]$$

Válasszunk egy pivot elemet, mondjuk, legyen ez a kettő! Ilyenkor a pivot elem sorát elosztjuk a pivot elemmel:

$$\left[ \begin{array}{cc|c} 5 & 6 & 20 \\ 1 & 2 & 7{,}5 \end{array} \right]$$

A többi elemre az alábbi szabály érvényesül, amelyet téglalapszabálynak hívunk:

$$q - \frac{r \cdot c}{p}$$

Ahol:

• q: adott elem:
• r (row): a pivot elem sorában, és a kérdéses elem oszlopában lévő elem
• c (column): a pivot elem oszlopában és a kérdéses elem sorában lévő elem
• p: a pivot elem

Mi történik az öttel bal felül? (Ne feledjük, itt még a korábbi mátrixot használjuk, ahol nem osztottuk le a pivot elem sorát a pivot elemmel!)

$$5 - \frac{2 \cdot 5}{2} = 0$$

Azért szerepel az 5-ös két helyen, mert a pivot elem oszlopában és a kiválasztott elem sorában éppen maga az 5-ös áll. Ezekben a speciális esetekben, amikor a pivot elem oszlopában lévő értékeket kezeljük, r mindig egyenlő a pivot elemmel, míg c a transzformálandó értékkel, azaz q-val, így nem kaphatunk más értéket, mint nullát. De számoljunk tovább! Jön a 6-os.

$$6 - \frac{4 \cdot 5}{2} = -4$$

$$20 - \frac{15 \cdot 5}{2} = -17{,}5$$

A köztes állapot pedig:

$$\left[ \begin{array}{cc|c} 0 & -4 & -17{,}5 \\ 1 & 2 & 7{,}5 \end{array} \right]$$

Mivel abból a sorból, ahonnan már korábban választottunk pivot elemet, nem választhatunk újabbat, ezért jó megoldásnak tűnik -4. (Azért nem választhatunk abból a sorból, ahonnan már került ki pivot elem, mert nem kéne elrontani az egyes együtthatót.)
Osszunk le a pivot-elemmel! Ez lesz az első sor:

$$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 4{,}375 \end{bmatrix}$$

A második sor megmaradt elemeire ismét alkalmazzuk a téglalapszabályt:

$$2 - \frac{-4 \cdot 2}{-4} = 0$$

$$7{,}5 - \frac{-17{,}5 \cdot 2}{-4} = -1{,}25$$

A teljes együttható-mátrix pedig így alakul:

$$\left[ \begin{array}{cc|c} 0 & 1 & 4{,}375 \\ 1 & 0 & -1{,}25 \end{array} \right]$$

Helyettesítsük vissza az x₁-et és az x₂-t:

$$\begin{aligned} 1x_1 + 0x_2 &= -1{,}25 \\ 0x_1 + 1x_2 &= 4{,}375 \end{aligned}$$

A folyamat végén a baloldalon egy egységmátrixot kapunk, ami lehetővé teszi, hogy egy sorban csak egyetlen ismeretlennek legyen nem nulla (hanem egy) együtthatója.