A regresszió tök ugyanaz, mint a trend

Tudtad, hogy a regresszió- és trendszámítások matematikailag ekvivalensek? Simán használhatod a regressziót, amikor trendet szeretnél számolni úgy, mintha a független változó értékei egymás melletti, nullától (vagy egytől) induló egész számok lennének növekvő sorrendben.

A normálegyenlet-rendszer:

$$\begin{aligned} \sum Y_i &= n \cdot b_0 + b_1 \cdot \sum t_i \ \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \sum t_i Y_i &= b_0 \cdot \sum t_i + b_1 \cdot \sum t_i^2 \end{aligned}$$

Az első egyenlet beszorzása $\sum t_i$ -vel:

$$\begin{aligned} \sum t_i \cdot \sum Y_i &= n \cdot b_0 \cdot \sum t_i + b_1 \cdot \left(\sum t_i\right)^2 \end{aligned}$$

A második egyenlet beszorzása n-nel:

$$\begin{aligned} n \cdot \sum t_i Y_i &= n \cdot b_0 \cdot \sum t_i + n \cdot b_1 \cdot \sum t_i^2 \end{aligned}$$

Kivonjuk az alsó egyenletből a felsőt (a $n \cdot b_0 \cdot \sum t_i$ tag kiesik):

$$n \cdot \sum t_i Y_i - \sum t_i \cdot \sum Y_i = n \cdot b_1 \cdot \sum t_i^2 - b_1 \cdot \left(\sum t_i\right)^2$$

Kiemeljük b₁-et a jobb oldalon:

$$n \cdot \sum t_i Y_i - \sum t_i \cdot \sum Y_i = b_1 \cdot \left( n \cdot \sum t_i^2 - \left(\sum t_i\right)^2 \right)$$

Átrendezünk b₁-re (feltéve, hogy a zárójeles tag nem nulla, vagyis nem minden $t_i$ egyenlő):

$$b_1 = \frac{n \cdot \sum t_i Y_i - \sum Y_i \cdot \sum t_i}{n \cdot \sum t_i^2 - \left(\sum t_i\right)^2}$$

Kifejezzük b₀-at az első normálegyenletből:

$$b_0 = \frac{\sum Y_i - b_1 \cdot \sum t_i}{n}$$

Átalakítás a kovariancián és szórásnégyzeten alapuló hagyományos alakra

Most levezetjük, miként alakítható át (b_1) és (b_0) az átlagok ( $\bar{t}, \bar{Y}$ ), valamint a kovariancia $\text{Cov}(t,Y)$ és variancia $\text{Var}(t)$ segítségével felírt alakba.

1. A b₁ paraméter átalakítása (Kovariancia-alak)

A kiindulási képletünk:

$$\begin{aligned} b_1 &= \frac{n \cdot \sum t_i Y_i - \sum Y_i \cdot \sum t_i}{n \cdot \sum t_i^2 - \left(\sum t_i\right)^2} \end{aligned}$$

Elosztjuk a számlálót és a nevezőt is $n^2$ -nel:

$$\begin{aligned} b_1 &= \frac{\frac{n \cdot \sum t_i Y_i - \sum Y_i \cdot \sum t_i}{n^2}}{\frac{n \cdot \sum t_i^2 - \left(\sum t_i\right)^2}{n^2}} \end{aligned}$$

Szétbontjuk a törteket tagok szerint a számlálóban és a nevezőben is:

$$\begin{aligned} b_1 &= \frac{\frac{n \cdot \sum t_i Y_i}{n^2} - \frac{\sum Y_i \cdot \sum t_i}{n^2}}{\frac{n \cdot \sum t_i^2}{n^2} - \frac{\left(\sum t_i\right)^2}{n^2}} \end{aligned}$$

Egyszerűsítünk $n$ -nel ott, ahol lehetséges:

$$\begin{aligned} b_1 &= \frac{\frac{\sum t_i Y_i}{n} - \left(\frac{\sum Y_i}{n}\right) \cdot \left(\frac{\sum t_i}{n}\right)}{\frac{\sum t_i^2}{n} - \left(\frac{\sum t_i}{n}\right)^2} \end{aligned}$$

Behelyettesítjük a számtani átlagok definícióját ( $\bar{t} = \frac{\sum t_i}{n}$ és $\bar{Y} = \frac{\sum Y_i}{n}$ ):

$$\begin{aligned} b_1 &= \frac{\frac{\sum t_i Y_i}{n} - \bar{Y} \cdot \bar{t}}{\frac{\sum t_i^2}{n} - \bar{t}^2} \end{aligned}$$

Átszorozzuk a számlálót és a nevezőt $n$ -nel, hogy összeg alakban lássuk az eltéréseket:

$$\begin{aligned} b_1 &= \frac{\sum t_i Y_i - n \cdot \bar{t} \cdot \bar{Y}}{\sum t_i^2 - n \cdot \bar{t}^2} \end{aligned}$$

Felhasználjuk az átlagtól való eltérések szorzatösszegének azonosságát:
$\sum (t_i - \bar{t})(Y_i - \bar{Y}) = \sum t_i Y_i - n \cdot \bar{t} \cdot \bar{Y}$ ,
valamint $\sum (t_i - \bar{t})^2 = \sum t_i^2 - n \cdot \bar{t}^2$ :

$$\begin{aligned} b_1 &= \frac{\sum (t_i - \bar{t})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (t_i - \bar{t})^2} \end{aligned}$$

Megjegyzés: Ha a számlálót és a nevezőt leosztjuk $(n-1)$ -gyel (vagy $n$ -nel), látható, hogy ez a kovariancia és a $t$ varianciájának hányadosa. Az n, vagy n - 1 nyilván attól függ, hogy populációról, vagy mintáról beszélünk.

$$\begin{aligned} b_1 &= \frac{\text{Cov}(t, Y)}{\text{Var}(t)} \end{aligned}$$

2. A b₀ paraméter átalakítása (Átlagok alakja)

A kiindulási képletünk:

$$\begin{aligned} b_0 &= \frac{\sum Y_i - b_1 \cdot \sum t_i}{n} \end{aligned}$$

Szétbontjuk a törtet két külön tagra:

$$\begin{aligned} b_0 &= \frac{\sum Y_i}{n} - \frac{b_1 \cdot \sum t_i}{n} \end{aligned}$$

Kiemeljük a $b_1$ tényezőt a második tagból:

$$\begin{aligned} b_0 &= \frac{\sum Y_i}{n} - b_1 \cdot \left(\frac{\sum t_i}{n}\right) \end{aligned}$$

Behelyettesítjük a számtani átlagokat ( $\bar{Y} = \frac{\sum Y_i}{n}$ és $\bar{t} = \frac{\sum t_i}{n}$ ):

$$\begin{aligned} b_0 &= \bar{Y} - b_1 \cdot \bar{t} \end{aligned}$$