Novelty by AI ที่มา Disproved Erdős Planar Unit Distance Problem

AI จะครองโลก เป็นคำที่ได้ยินมานาน เท่าที่ผู้เขียนจำความได้ก็มี Judgement Day ยุคหนัง Terminator แต่หากจะจริงจังขนาดโยงเข้าความเป็นจริงก็ยังไม่มีอะไรชัดเจน

แต่วันนี้เรามีหลักฐานพิสูจน์ได้จริงแล้ว ด้วยความ Novelty จาก OpenAI ที่สามารถค้นพบความรู้ใหม่ที่ไม่เคยมีมนุษย์ค้นพบมาก่อน หักล้างความเชื่อที่ว่า AI ทำได้เพียงนำสิ่งที่มนุษย์ค้นพบแล้วมาเรียงต่อกัน

ในเดือนพฤษภาคม 2026 reasoning model ภายในของ OpenAI ได้ disprove Erdős Planar Unit Distance Problem ซึ่งเป็นปัญหาและข้อคาดการณ์ทาง Combinatorial geometry ที่ Paul Erdős ตั้งไว้ตั้งแต่ปี 1946 โจทย์ระบุว่า เมื่อวางจุด $n$ จุดบนระนาบ จำนวนของคู่จุดที่ห่างกันพอดี 1 หน่วยจะมีได้มากที่สุดเท่าใด Erdős แสดงความเป็นไปได้ผ่านการจัดเรียงแบบ grid ว่าได้จำนวนคู่ที่เติบโตเหนือเส้นตรงเพียงเล็กน้อย และตั้งข้อคาดการณ์ว่าไม่มีโครงสร้างใดทำได้ดีกว่านี้อย่างมีนัยสำคัญ ข้อคาดการณ์นี้ได้รับการยอมรับในวงกว้างตลอด 80 ปีที่ผ่านมา และยังไม่มีข้อคาดการณ์ที่ดีกว่านี้

จนกระทั่ง OpenAI ได้เผยแพร่ Chain of Thought (CoT) เรียบเรียงความยาว 125 หน้า ซึ่งบันทึกลำดับการให้เหตุผลของโมเดลไว้ทั้งกระบวนการว่าโมเดลไปถึงคำตอบอย่างไร

---

กรอบของคำตอบ: lower bound กับ upper bound

ก่อนเข้ากระบวนการทำงานของโมเดล ขออธิบาย "กรอบ" ของคำตอบของปัญหานี้ก่อน เพราะคำตอบถูกล้อมไว้ด้วย lower bound จำนวนที่สร้างได้จริงแล้ว อย่างน้อยเท่านี้ และ upper bound เพดานที่พิสูจน์แล้วว่าเกินไม่ได้

ด้าน lower bound นั้น Erdős เอง (1946) ใช้การจัดเรียงแบบ grid แสดงว่าสร้างได้ถึง $n^{1+\Omega(1/\log\log n)}$ ซึ่งมากกว่าเส้นตรงเพียงเล็กน้อย และเข้าใกล้ศูนย์เมื่อ $n$ ใหญ่ขึ้น ส่วนด้าน upper bound นั้น Erdős พิสูจน์เพดานแรกไว้ที่ $O(n^{3/2})$ จากวงกลมหนึ่งหน่วยสองวงตัดกันได้ไม่เกินสองจุด โดยต่อมา Spencer–Szemerédi–Trotter (1984) บีบเพดานนี้ลงมาเป็น $O(n^{4/3})$ ซึ่งเป็น upper bound ที่ดีที่สุดจนถึงปัจจุบัน และยังคงอยู่หลังการค้นพบของ OpenAI model

วิธีเก่าของ Erdős: วงกลมรัศมีเลือกมาลากผ่านจุด grid หลายจุดพร้อมกัน ทำให้ระยะซ้ำมีมาก

สิ่งที่ Erdős คาดการณ์คือ คำตอบจริงของ Planar Unit Distance Problem ควรอยู่ชิดด้าน lower bound นั่นคือราว $n^{1+o(1)}$ (เลขชี้กำลังลู่เข้าหา 1) โดยนำเสนอว่า grid คือรูปแบบที่ดีที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ ดังนั้นตลอด 80 ปีที่ผ่านมา คำตอบจึงถูกล้อมอยู่ในช่วงระหว่าง lower bound นี้กับ upper bound ของ Spencer–Szemerédi–Trotter ที่ $n^{4/3}$ และสิ่งที่โมเดลของ OpenAI หักล้าง คือความเชื่อด้าน lower bound ที่ถูกขยับให้สูงขึ้น

$$\underbrace{n^{1+o(1)}}{\text{Erdős เชื่อว่าคำตอบอยู่แถวนี้}} \;\le\; U(n) \;\le\; \underbrace{O(n^{4/3})}{\text{เพดานที่พิสูจน์แล้ว (SST 1984)}}$$

ภาพรวม: upper/lower bound ของทั้ง Erdős และ OpenAI แสดงจุด counterexample

---

ครึ่งแรก: โมเดลหาทางแบบเดียวกับที่มนุษย์เคยลอง

มาต่อกันที่ reasoning model ภายในของ OpenAI โดยส่วนแรกของกระบวนการ เป็นการที่โมเดลพิจารณาแนวทางที่เคยมีผู้ศึกษามาก่อนอย่างเป็นระบบ ทั้ง hypercube construction, roots of unity, elliptic curve และการประยุกต์ crossing lemma ซึ่งทั้งหมดยังอยู่ใต้ upper bound ที่ระดับ $n^{4/3}$ โมเดลประเมินว่าแนวทางเชิงเรขาคณิตเหล่านี้ไม่สามารถนำไปสู่การหักล้างข้อคาดการณ์ได้ ซึ่งเป็นแบบเดียวกันกับที่มนุษย์เคยทำมาตลอด 80 ปี

---

จุดเปลี่ยนที่หน้า 6: ข้ามพรมแดนสาขา

จุดเปลี่ยนปรากฏในหน้าที่ 6 เมื่อโมเดลพบว่าตัวอย่างสุดขั้ว (extremal examples) ทุกตัวสามารถมองเป็นเชิงพีชคณิต (algebraic) ได้ แต่ degree และ height ของมันกลับใหญ่มากจนยากที่จะจัดการ แทนที่จะถือว่านี่เป็นอุปสรรค โมเดลตีความว่ามันคือ โอกาสที่จะค้นพบ counterexample:

". . . in principle all extremal examples can be taken algebraic. But the degree and height of that algebraic realization can be enormous. . . Maybe that enormous degree is not just an annoyance but a source of possible counterexamples. Number fields deserve a closer look."

ข้อสังเกตนี้สำคัญถึงขั้นที่คณะนักคณิตศาสตร์ผู้ตรวจสอบนำไปอ้างอิงไว้ในส่วน Introduction ของรายงาน เพราะเป็นจุดที่โมเดลเปลี่ยนกรอบจาก combinatorial geometry ไปสู่ algebraic number theory ซึ่งเป็นสาขาที่ผู้ศึกษาปัญหานี้ส่วนใหญ่เดิมไม่ได้นำมาใช้

จุดนี้ทำให้เราเห็นความต่างระหว่างพลังของมนุษย์ที่ใช้เครื่องมือของสาขาเดียวกันเพื่อแก้ปัญหาในสาขาเดียวกันของ Combinatorial geometry ขณะที่เรื่องนี้โมเดลข้ามพรมแดนสาขาไปใช้ Algebraic number theory มาแก้ปัญหา Combinatorial geometry

---

"page 39 moment": ช่วงเวลาแห่งการเริ่มค้นพบ

ช่วงเวลาแห่งการ "เริ่มค้นพบ" ปรากฏที่หน้า 39 เมื่อโมเดลพิจารณา CM field ที่มี degree สูง ภายใต้สมมติฐานว่ามี rational prime $p$ ขนาดเล็กที่ split ออกเป็น principal prime ideals ได้อย่างสมบูรณ์ การคำนวณชี้ว่าจะได้เซตจุดขนาดประมาณ $p^{d}$ โดยแต่ละจุดมีทิศทางหน่วยถึง $2^{d}$ ทิศ ซึ่ง OpenAI บันทึกไว้ว่า

"Then the construction is frightening."

คำว่า "frightening" ตีความถึงความทรงพลังของ structure ที่ model ค้นพบ เพราะจำนวน unit distance ที่ได้จะอยู่ในรูป $n^{1+\delta}$ โดยค่าส่วนเกิน $\delta = \dfrac{\log 2}{\log p}$ ขึ้นกับว่าเลือก prime $p$ ตัวใด หาก $p$ มีค่าเป็น 2 หรือ 5 ค่า $\delta$ จะเท่ากับ 1 และราว 0.43 ตามลำดับ ซึ่งทะลุแม้กระทั่ง upper bound เดิมที่ถูกพิสูจน์ไว้ก่อนแล้วที่ $n^{4/3}$ (ที่ค่า $\delta = 1/3$ ) และแม้ $p$ จะมีค่าสูงกว่านั้นจน $\delta$ ลดต่ำกว่า 1/3 ค่าที่เหลือก็ยังเป็น power saving คงที่ ซึ่งเพียงพอต่อการหักล้างข้อคาดการณ์ของ Erdős โดยไม่ทะลุ upper bound

ส่วนนี้อาจเรียกว่าความยั้งคิด หรือกรอบความคิดที่ตีให้อยู่กับความเป็นจริง คือโมเดลไม่ได้สรุปว่ามันทะลุเพดานได้ในทันที แต่มันใช้เพดาน $n^{4/3}$ ของ Spencer–Szemerédi–Trotter (ซึ่งเป็น theorem ที่พิสูจน์แล้ว) เป็น "เครื่องวัดความเป็นจริง" ในการตรวจสอบความเป็นไปได้ของ construction ของตัวเอง กล่าวคือ การที่เวอร์ชัน $p$ เล็ก "จะทะลุเพดานที่พิสูจน์แล้ว" ไม่ได้แปลว่ามันทะลุได้จริง แต่แปลว่า เวอร์ชันนั้นต้องเป็นไปไม่ได้ตั้งแต่ต้น และนั่นคือหลักฐานทางอ้อมว่าสมมติฐาน "prime ideal เป็น principal" ต้องล้มเหลวสำหรับ $p$ ขนาดเล็ก เงื่อนไข "if" ในสมมติฐานจึงซ่อนปัญหาไว้ นั่นคือการที่ prime ideal เหล่านั้นจะเป็น principal หรือไม่ เป็นเงื่อนไขของ class group ที่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์

ด้วยความสามารถในการ "เห็นทั้งความเป็นไปได้และตรวจสอบความดีเกินจริงพร้อมกัน" โมเดลไม่ได้ยอมรับผลของ construction ที่ดูทรงพลังจนน่าตกใจ แต่ใช้ผลลัพธ์ที่ "ดีเกินจริง" เป็นสัญญาณเตือนว่าสมมติฐานต้องมีรูรั่ว แล้วเบนทิศไปเล่นกับ prime $p$ ขนาดใหญ่ที่ให้ $\delta$ ต่ำกว่า 1/3 โครงสร้างสุดท้ายจึงอยู่ในความเป็นไปได้จริงที่ไม่ได้ทะลุ upper bound เดิมที่ $n^{4/3}$ ผลลัพธ์ทั้งหมดที่ได้ยังคงอยู่ภายใน upper bound เดิมเสมอ โดยค่า $\varepsilon$ ที่ทำได้จริงราว 0.014 ถึง 0.036 ซึ่งแม้จะยังต่ำกว่า 1/3 อยู่มาก แต่การยก lower bound นี้ก็เพียงพอที่จะใช้ล้มข้อคาดการณ์เดิมของ Erdős

counterexample ด้วยค่า $\varepsilon$ คงที่: ของเดิมค่า $\delta \to 0$ แต่ของใหม่จาก OpenAI คงที่ค่า $\delta$ ไว้เหนือศูนย์

ณ จุดนี้ OpenAI พบจุดที่อาจจะ disproof ข้อคาดการณ์ของ Erdős ได้แล้ว เหลือเพียงติดเงื่อนไขชัดเจนที่ต้องรอการพิสูจน์ในขั้นต่อไป ในวงการ AI จึงเรียกจุดนี้ว่า "page 39 moment" คือจุดที่ Model สร้างความ Novel ได้ในวงการ (โดยติดเงื่อนไขบางอย่าง)

---

ครึ่งหลัง: ปิดช่องโหว่ด้วย class field tower

ครึ่งหลังของกระบวนการ เป็นการที่โมเดลแก้ข้อจำกัดของเงื่อนไขที่ตนเองตั้งขึ้น โดยอาศัย Hilbert class field tower แบบ Golod Shafarevich ซึ่งควบคุม root discriminant ได้แม้ degree จะเพิ่มขึ้นไม่จำกัด ประกอบกับแนวคิดของ Ellenberg Venkatesh ว่าด้วย split prime ร่วมกับ pigeonhole principle และโครงสร้างของ CM field จนสามารถปิดช่องโหว่และสร้างเซตของจุดที่สูงกว่า upper bound เดิมของ Erdős ได้จริง ถือว่าเป็นการ disprove ได้สำเร็จ ด้วยวิธียกตัวอย่างที่ดีกว่ามาหักล้างของเดิม (counterexample)

กลไก 3 ขั้นตอนของ OpenAI: number field → lattice ในมิติสูง → project ลงระนาบ ทำให้ได้แต่ละจุดมีเพื่อนบ้านระยะ 1 หน่วยจำนวนมาก

---

การตรวจสอบโดยมนุษย์

ผลลัพธ์นี้ได้รับการตรวจสอบโดยนักคณิตศาสตร์ชั้นนำ 9 ท่าน ที่ร่วมกันจัดทำรายงาน "Remarks on the Disproof of the Unit Distance Conjecture" โดยระบุชัดเจนว่าเป็นฉบับที่ผ่านการตรวจสอบโดยมนุษย์ (human-verified) พร้อมแสดงบทพิสูจน์ฉบับสมบูรณ์ใน Section 2 คณะผู้ตรวจสอบประกอบด้วย W. T. Gowers (ผู้ได้รับเหรียญ Fields ปี 1998), Noga Alon, Melanie Matchett Wood (MacArthur Fellow), Jacob Tsimerman, Will Sawin, Daniel Litt, Thomas Bloom, Arul Shankar และ Victor Wang นอกจากนี้ในกิตติกรรมประกาศยังระบุการขอบคุณ Peter Sarnak และ Kannan Soundararajan

รายงานนี้มีการระบุเพิ่มด้วยว่า เอกสารตั้งต้นจาก OpenAI ที่พวกเขาทำการตรวจสอบอยู่นี้ถูกสร้างขึ้น in one shot โดยโมเดลภายในของ OpenAI แล้วจึงได้รับการเรียบเรียงเชิงการนำเสนอผ่านการทำงานร่วมกับมนุษย์โดยใช้ Codex ฉะนั้นผลงานของ OpenAI จึงมีแกนทางคณิตศาสตร์เป็นผลงานของ Model โดยมนุษย์มีบทบาทในการเรียบเรียงให้อ่านเข้าใจง่าย

ทั้งนี้ เปเปอร์ Remarks ฉบับตรวจสอบระบุผลในรูปทั่วไปว่า มีค่า $\varepsilon > 0$ และมีลำดับเซตจุดที่ขนาดเพิ่มไม่จำกัด โดยจำนวน unit distance $\ge n^{1+\varepsilon}$ เสมอ ซึ่งเพียงพอต่อการหักล้างข้อคาดการณ์ ส่วนค่า $\varepsilon$ ที่ระบุเป็นตัวเลขชัดเจนนั้น มีอยู่ในเปเปอร์ primary แยกต่างหาก โดย Will Sawin (หนึ่งในผู้ตรวจสอบ) พิสูจน์ค่า explicit ที่ $n^{1.014}$ (arXiv:2605.20579) และต่อมามีการปรับให้ดีขึ้นเรื่อย ๆ จนถึงราว $n^{1.036}$ ในปัจจุบัน(ยังเป็น unverified) ทั้งหมดยังต่ำกว่า upper bound ที่พิสูจน์แล้ว $O(n^{4/3})$ หรือ $n^{1.333\ldots}$

$$\underbrace{n^{1.036}}{\text{lower bound ปัจจุบัน}} \;\lesssim\; U(n) \;\le\; \underbrace{n^{4/3} \approx n^{1.333}}{\text{upper bound}} \qquad\Longrightarrow\qquad U(n) \ne n^{1+o(1)}$$

ส่งท้าย
ผู้เขียนมีความรู้คณิตศาสตร์จำกัด จึงขออภัยล่วงหน้าสำหรับข้อผิดพลาด แต่ก็อยากบันทึกประวัติศาสตร์จุดเปลี่ยนของ AI จึงใช้เวลา 2 วัน ทำความเข้าใจและรวบรวมเป็นบทความนี้ขึ้นมา

---

อ้างอิง

เอกสารต้นทางจาก OpenAI

1. OpenAI. An OpenAI model has disproved a central conjecture in discrete geometry. (พฤษภาคม 2026) https://openai.com/index/model-disproves-discrete-geometry-conjecture/
2. Rewritten Chain of Thought for the Solution to the Unit Distance Problem. (ลำดับการให้เหตุผลของโมเดล ความยาว 125 หน้า quote หน้า 6 และหน้า 39 มาจากที่นี่) https://cdn.openai.com/pdf/1625eff6-5ac1-40d8-b1db-5d5cf925de8b/unit-distance-cot.pdf

งานตรวจสอบโดยมนุษย์ (peer verification)

1. N. Alon, T. F. Bloom, W. T. Gowers, D. Litt, W. Sawin, A. Shankar, J. Tsimerman, V. Wang, M. M. Wood. Remarks on the Disproof of the Unit Distance Conjecture. (2026) ฉบับ human verified พร้อม proof สมบูรณ์ใน Section 2; Theorem 1.1 ระบุผลในรูป $\exists\,\varepsilon>0$
   • PDF: https://cdn.openai.com/pdf/74c24085-19b0-4534-9c90-465b8e29ad73/unit-distance-remarks.pdf
   • arXiv: https://arxiv.org/abs/2605.20695
2. W. Sawin. An explicit lower bound for the unit distance problem. arXiv:2605.20579 (2026) พิสูจน์ค่า explicit $n^{1.014}$ https://arxiv.org/abs/2605.20579

ขอบเขตเดิมของปัญหา

1. P. Erdős. On sets of distances of n points. American Mathematical Monthly 53 (1946), 248–250. ต้นกำเนิดปัญหา, lower bound $n^{1+\Omega(1/\log\log n)}$ , upper bound แรก $O(n^{3/2})$ , และข้อคาดการณ์ $n^{1+o(1)}$
2. J. Spencer, E. Szemerédi, W. T. Trotter. Unit distances in the Euclidean plane. In B. Bollobás (ed.), Graph Theory and Combinatorics, Academic Press (1984), 293–303. upper bound $O(n^{4/3})$ ที่ดีที่สุดจนถึงปัจจุบัน https://trotter.math.gatech.edu/papers/44.pdf

ความเห็นประกอบและสถานะล่าสุดของเลขชี้กำลัง (exponent)

1. T. Tao (ed.). Erdős unit distance exponent Optimization Problems / constants 84a. (ประวัติการปรับค่ายังเป็น unverified: Sawin 1.014 → 1.0318 → 1.0333 → 1.0346 → Naslund 1.03583; upper bound 4/3) https://teorth.github.io/optimizationproblems/constants/84a.html
2. G. Kalai. Amazing: Erdős' Unit Distance Problem was Disproved! It was achieved by AI! Combinatorics and more (พฤษภาคม 2026) https://gilkalai.wordpress.com/2026/05/21/amazing-erdos-unit-distance-problem-was-disproved-it-was-achieved-by-ai/