[Notas] Fundamentos de Probabilidad

Conceptos iniciales:

• Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dado, aprobar una asignatura

• Espacio muestral: Todos los eventos del conjunto universal: $\Omega$

• Evento: Una sola muestra del espacio muestral.

• Cardinal de un conjunto: Representa la el número de elementos de un conjunto denotado por $\# (S)$

• Probabilidad bajo definición frecuentista: $P = \frac{Número Casos Favorables}{Número Casos Totales}$

$$P(A) = \frac{\# (A)}{\# (\Omega)}$$

Ejemplo

1. Probabilidad de lanzar un dado de seis caras y obtener un número par:

$$P(A) = \frac{\# (\{2 , 4 , 6\})}{\# (\{1, 2, 3, 4, 5, 6\})} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0.5$$

1. Probabilidad de lanzar un dado de seis caras y obtener un número mayor a 3.

$$P(B) = \frac{\# (\{4, 5, 6\})}{\# (\{1, 2, 3, 4, 5, 6\})} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0.5$$

Propiedades de la probabilidad

Sean los eventos $A$ , $B$ entonces:

• $P( A \cup B) = P( A ) + P( B ) - P( A \cap B )$
• $P( A^c ) = P( \overline{A} ) = 1 - P( A )$
• $P( \emptyset ) = 0$
• Si $A \subset B$ entonces $P( B - A) = P( B ) - P( A )$
• $P( \overline{A} | B ) = 1 - P( A | B )$

Ejercicio

Si $P(A) = 0.3$ , $P(\overline{B}) = 0.6$ y $P( A \cap B ) = 0.2$ , ¿cuánto es $P( A \cup B )$ ?

$$P( A \cup B ) = P(A) + P(B) - P( A \cap B )$$

$$P( A \cup B ) = P(A) + 1 - P(\overline{B}) - P( A \cap B )$$

$$P( A \cup B ) = 0.3 + 1 - 0.6 - 0.2 = 0.5$$

Probabilidad condicional

Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que mañana llueva ( $A$ ), dado que mañana es viernes ( $B$ )?

$$P( A | B ) = \frac{P( A \cap B )}{ P(B) }$$

Ejercicio

En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar: Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños?

Sea $A$ el evento "Cabello castaño" y $B$ el evento "Ojos castaño", entonces $P( A ) = 0.4$ , $P( B ) = 0.25$ y $P( A \cap B ) = 0.15$ . Luego:

$$P( B ) = \frac{P( B \cap A )}{ P(A) }$$

$$P( B ) = \frac{ 0.15 }{ 0.4 } = 0.375$$

¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabello castaño, dado que tiene ojos castaños ( $\overline{A} | B$ )?

$$P( \overline{A} | B ) = \frac{P( B \cap \overline{A} )}{ P(B) }$$

$$P( \overline{A} | B ) = \frac{P( B \cap (\Omega - A) )}{ P(B) }$$

$$P( \overline{A} | B ) = \frac{P( (B \cap \Omega) - ( B \cap A) )}{ P(B) }$$

$$P( \overline{A} | B ) = \frac{P( B - ( B \cap A) )}{ P(B) }$$

$$P( \overline{A} | B ) = 1 - \frac{P( B \cap A)}{ P(B) }$$

$$P( \overline{A} | B ) = 1 - \frac{0.15}{ 0.25 } = 0.4$$

Probabilidad de conjunto particionado

Si $B$ se puede particionar en $n$ partes (i.e. $B = A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4 \cup A_5 \cup A_6 \cup ... \cup A_n$ ), entonces:

$$P( B ) = P( B | A_1 ) P( A_1 ) + P( B | A_2 ) P( A_2 ) + ... + P( B | A_n ) P( A_n )$$

Teorema de Bayes

$$P( A | B ) P( B ) = P( B | A ) P( A )$$

Ejemplo

En una empresa de auditoría se ha contratado a tres personas para inspeccionar a las empresas bancarias realizando las correspondientes auditorías. La primera de ellas se encarga de efectuar el 30%, la segunda el 45% y la tercera el 25% restante. Se ha comprobado que el 1% de las inspecciones que realiza la primera persona son erróneas, la segunda persona comete un 3% de errores y la tercera un 2%. Al elegir una inspección correcta, ¿cuál es la probabilidad de que la haya realizado la segunda persona?

A: Auditoría efectuada por la persona 1
$P(A) = 0.3$

B: Auditoría efectuada por la persona 2
$P(B) = 0.45$

C: Auditoría efectuada por la persona 3
$P(C) = 0.25$

D: Inspección errónea
$P(D | A) = 0.01$
$P(D | B) = 0.03$
$P(D | C) = 0.02$
$P(D) = P(D | A) P(A) + P(D | B) P(B) + P(D | C) P(C)$
$P(D) = 0.01 * 0.3 + 0.03 * 0.45 + 0.02 * 0.25$
$P(D) = 0.0215$

E: Inspección correcta
$P(E) = 1 - P(D) = 0.9785$

Al elegir una inspección correcta, ¿Cuál es la probabilidad de que la haya realizado la segunda persona?

$P(B | E) = \frac{ P( E | B) P(B) }{ P(E) }$
$P(B | E) = \frac{ 0.45 }{ 0.9785 } * P( E | B)$
$P(B | E) = \frac{ 0.45 }{ 0.9785 } * ( 1 - P( \overline{E} | B) )$
$P(B | E) = \frac{ 0.45 }{ 0.9785 } * ( 1 - 0.03 )$
$P(B | E) = 0,4460909555$

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Bibliografía

• Curso "Herramientas de Estadística", Master Universitario en Inteligencia Artificial.