Geometric Distribution คือ?

⭐️ ก่อนที่เราจะมาทำความรู้จักกับการแจกแจงแบบ Geometric ก่อนอื่นเรามาเริ่มรู้จักกับการแจกแจงแบบ Binomial ก่อนดีกว่า 👇

• Binomial Distribution คือ?

การแจกแจงแบบ Geometric เป็นยังไง ?

ถ้าเราจำ Binomial Distribution ได้มันคือการทำการทดลอง n ครั้งแล้วหาความน่าจะเป็นที่จะสำเร็จ x ครั้ง เช่น ทำข้อสอบ 10 ข้อหาความน่าจะเป็นที่จะทำถูก 5 ข้อ แต่ Geometric Distribution คือความน่าจะเป็นที่เราทำการทดลองสำเร็จครั้งแรกเป็นครั้งที่ x ฟังดูงงๆ ถ้ายกตัวอย่างเป็นการเดาข้อสอบ ก็คือความน่าจะเป็นที่เราจะเดาข้อสอบ 5 ข้อแล้วถูกเป็นข้อแรก(ข้อ 1-4 เดาผิด ข้อ 5 เดาถูก)

ฟังก์ชันความน่าจะเป็น

p = ความน่าจะเป็นที่จะสำเร็จ ( เดาข้อสอบ 4 ตัวเลือกถูก p = 1/4 )
k = จำนวนครั้งที่ทำการทดลองจนสำเร็จเป็นครั้งแรก ( เช่น k=3 หมายถึง 2 ข้อแรกเดาผิด ข้อ 3 เดาถูก)

เพื่อความเข้าใจเรามาดูตัวอย่างกัน

Example 1

กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลสีขาว 4 ลูกสีดำ 6 ลูกถ้าสุ่มหยิบลูกบอลออกจากกล่องครั้งละลูกโดยหยิบแล้วใส่คืน ความน่าจะเป็นที่หยิบได้ลูกบอลสีขาวเป็นครั้งแรกของการสุ่มหยิบเป็นครั้งที่ 3 เป็นเท่าใด
p = ความน่าจะเป็นที่จะได้สีขาว = 0.4 (4/10)
k = จำนวนครั้งที่หยิบจนได้สีขาวเป็นครั้งแรก = 3

จากสูตรจริงๆก็ตรงไปตรงมาโอกาสที่ได้ลูกบอลสีขาวเป็นครั้งแรกของการสุ่มหยิบเป็นครั้งที่ 3 (ดำ ดำ ขาว) = โอกาสที่ได้สีดำ (6/10) ยกกำลัง 2 เพราะได้ 2 ลูก คูณกับ โอกาสที่ได้สีขาว 4/10

Example 2

เคยมั้ยครับตอนเด็กๆ เรากินขนมแล้วในห่อขนมมันชอบแถมของเล่นมาให้สะสมเราลองมาคิดดูดีกว่าว่าเราต้องกินกี่ห่อถึงจะได้ครบทุกแบบ (เราต้องใช้ ค่าคาดหวัง มาช่วยคิดซะแล้ว 🤔 )

📊 ค่าคาดหวัง (Expected Value) คือเฉลี่ยทางสถิติ ซึ่งอ่านความหมายแบบนี้แล้วก็อาจจะยังงง ๆ กันอยู่ ค่าเฉลี่ยทางสถิติในที่นี้คือ ค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นจากการทดลองซ้ำ ๆ เช่นการทอยลูกเต๋า 1 ลูก ซ้ำ ๆ เป็นหมื่น เป็นแสน ครั้งแล้วเอาแต้มที่ได้มาเฉลี่ยกัน ค่าเฉลี่ยอันนี้เรียกว่า ค่าคาดหวังนั่นเอง (จะสลับกันเป็นทอยลูกเต๋า แสนลูก 1 ครั้ง ก็ได้เหมือนกัน)

กลับมาที่คำถามที่ว่าต้องกินขนมกี่ห่อถึงจะได้ของสะสมครบทุกแบบ ถ้าของสะสมมีแค่ 1 แบบเราก็ตอบได้เลยถูกมั้ยครับว่า 1 ห่อ ถ้าของสะสมมี 2 แบบหละ เราก็จะคิดว่าห่อแรกได้ของสะสมมา 1 แบบ ส่วนห่อที่ 2 ก็มีโอกาสได้แบบใหม่ 50% ได้ซำ้ 50% ดังนั้นโดยเฉลี่ยเราต้องกิน 3 ห่อถึงจะได้ครบทุกแบบ

ค่าคาดหวัง (Expected Value) ของ Geometric Distribution เราสามารถจำได้เลยครับว่ามีค่าเท่ากับ 1/p (p = ความน่าจะเป็นที่จะสำเร็จ) จากที่ยกตัวอย่างเมื่อกี้เอาแค่ห่อที่ 2 เราจะเห็นใช่มั้ยครับว่า p = ความน่าจะเป็นที่จะสำเร็จ = ความน่าจะเป็นที่จะได้ของสะสมไม่ซ้ำ = 0.5 (50%) แทนค่า 1/0.5 = 2 ห่อนั่นเอง

📝 งั้นลองมาคิดกับคำถามเดิมแต่เปลี่ยนเป็น มีของสะสม 5 แบบ ต้องกินขนมกี่ห่อถึงจะได้ของสะสมครบทุกแบบ (ผมคิดในสมมติฐานที่ว่าของสะสมทุกแบบมีโอกาสออกเท่าๆกันนะครับไม่มีของ rare)
ลองคิดแบบนี้ดูครับ

X1 = จำนวนห่อขนมที่ต้องซื้อจนกว่าจะได้ของสะสมที่ไม่ซ้ำกับที่มีอันแรก (เรายังไม่มีของสะสมสักแบบ) P(X=k) ~ Geo(p=1) ได้ว่า X1 เป็น Geometric Distribution ค่าคาดหวัง = 1/p = 1/1 = 1 ห่อ (ความหมายคือถ้าเรายังไม่มีของสะสมเลยสักแบบเราซื้อขนมแค่ 1 ห่อก็จะได้ของสะสมใหม่ที่ไม่ซ้ำกับที่มีแล้ว)

X2 = จำนวนห่อขนมที่ต้องซื้อจนกว่าจะได้ของสะสมที่ไม่ซ้ำกับที่มีอันที่ 2 (เรามีของสะสมแล้ว 1 แบบ) P(X=k) ~ Geo(p=4/5) ได้ว่า X2 เป็น Geometric Distribution ค่าคาดหวัง = 1/p = 1/(4/5) = 5/4 ห่อ (ความหมายคือถ้าเรามีของสะสมแล้ว 1 แบบ เราต้องซื้อขนม 5/4 ห่อโดยเฉลี่ยถึงจะได้ของสะสมใหม่ที่ไม่ซ้ำกับที่มีอยู่แล้ว)

X3 = จำนวนห่อขนมที่ต้องซื้อจนกว่าจะได้ของสะสมที่ไม่ซ้ำกับที่มีอันที่ 3 (เรามีของสะสมแล้ว 2 แบบ) P(X=k) ~ Geo(p=3/5) ได้ว่า X3 เป็น Geometric Distribution ค่าคาดหวัง = 1/p = 1/(3/5) = 5/3 ห่อ (ความหมายคือถ้าเรามีของสะสมแล้ว 2 แบบ เราต้องซื้อขนม 5/3 ห่อโดยเฉลี่ยถึงจะได้ของสะสมใหม่ที่ไม่ซ้ำกับที่มีอยู่แล้ว)

X4 = จำนวนห่อขนมที่ต้องซื้อจนกว่าจะได้ของสะสมที่ไม่ซ้ำกับที่มีอันที่ 4 (เรามีของสะสมแล้ว 3 แบบ) P(X=k) ~ Geo(p=2/5) ได้ว่า X4 เป็น Geometric Distribution ค่าคาดหวัง = 1/p = 1/(2/5) = 5/2 ห่อ (ความหมายคือถ้าเรามีของสะสมแล้ว 3 แบบ เราต้องซื้อขนม 5/2 ห่อโดยเฉลี่ยถึงจะได้ของสะสมใหม่ที่ไม่ซ้ำกับที่มีอยู่แล้ว)

X5 = จำนวนห่อขนมที่ต้องซื้อจนกว่าจะได้ของสะสมที่ไม่ซ้ำกับที่มีอันที่ 5 (เรามีของสะสมแล้ว 4 แบบ) P(X=k) ~ Geo(p=1/5) ได้ว่า X5 เป็น Geometric Distribution ค่าคาดหวัง = 1/p = 1/(1/5) = 5/1 ห่อ (ความหมายคือถ้าเรามีของสะสมแล้ว 4 แบบ เราต้องซื้อขนม 5 ห่อโดยเฉลี่ยถึงจะได้ของสะสมใหม่ที่ไม่ซ้ำกับที่มีอยู่แล้ว)

เราก็ตอบคำถามที่ว่า ต้องกินขนมกี่ห่อถึงจะได้ของสะสมครบทุกแบบ ได้แล้วนะครับ
ก็เอา ค่าคาดหวัง ของ X1+X2+X3+X4+X5 = 1+5/4+5/3+5/2+5/1 = 11.416 ซื้อ 11-12 ห่อโดยเฉลี่ยก็จะได้ครบ (คิดในสมมติฐานที่ของสะสมทุกแบบมีโอกาสออกเท่าๆกันนะครับไม่มีของ rare)